Question

17．如图所示，某生产线上相互垂直的甲、乙传送带等高，均以大小为4m/s的速度运行，其中甲传送带的长度为L=1m，乙传送带足够长，乙传送带的宽度为d=2m，图中虚线为传送带中线．一工件（视为质点）从甲左端由静止释放，经一段时间由甲右端滑上乙，最终必与乙保持相对静止．工件质量为1kg，g=10m/s²，沿甲传送带中线向右建立x轴．
（1）若μ=0.45，求工件从放上甲传送带到相对乙传送带静止经历的时间？皮带上的划痕各多长？
（2）若μ=0.9，求工件在传送带上运动过程中甲、乙传送带对工件共做多少功？
（3）当μ不同时，工件最终相对乙传送带静止的位置不同，求工件在乙传送带上相对乙沿x方向上的位移？

Answer 1

分析 （1）工件从放上甲传送带后先做匀加速运动，根据运动学公式求匀加速运动的位移和时间．工件滑上传送带乙后，以乙传送带为参考系，工件做加速度为μg的匀减速直线运动，当速度减为零时即工件和乙传送带相对静止．再由运动学公式求时间和皮带上的划痕长度．
（2）对全过程，运用动能定理求传送带对工件做的总功．
（3）若工件在甲传送带上先匀加速运动共速后做匀速直线运动，由运动学公式得到μ≥0.8．当μ＜0.8，工件在甲传送带上一直匀加速运动，再由运动学公式和几何关系结合求解．

解答 解：（1）工件在甲传送带上做匀加速时，加速度为 a=$\frac{μmg}{m}$=μg
工件一直匀加速运动到刚滑上传送带乙时的速度 ${v_1}=\sqrt{2μgL}=\sqrt{2×0.45×10×1}=3m/s$
匀加速运动的时间 ${t_1}=\frac{v_1}{a}=\frac{v_1}{μg}=\frac{3}{0.45×10}s=\frac{2}{3}s$
位移 ${s_1}=v{t_1}-L=4×\frac{2}{3}-1=\frac{5}{3}m$
工件在乙传送带上运动：v_相=$\sqrt{{v^2}+v_1^2}=5m/s$
故以乙传送带为参考，工件做加速度为μg的匀减速直线运动，当速度减为零时即工件和乙传送带相对静止．
经历时间 t₂=$\frac{{v}_{相}}{a}$=$\frac{5}{4.5}=\frac{10}{9}s$
位移 s₂=$\frac{{v}_{相}^{2}}{2a}$=$\frac{5^2}{2μg}=\frac{25}{9}m$
共用时 $t={t_1}+{t_2}=\frac{2}{3}+\frac{10}{9}=\frac{16}{9}s=1.8s$
皮带上的划痕长度为 $s={s_1}+{s_2}=\frac{5}{3}+\frac{25}{9}=\frac{40}{9}m=4.4m$
（2）全程对工件由动能定理得：$W=\frac{1}{2}m{v^2}=\frac{1}{2}×1×{4^2}=8J$
（3）若工件在甲传送带上先匀加速运动共速后做匀速直线运动，则有 $\frac{v^2}{2μg}≤L$
即：当μ≥0.8，v₁=v=4m/s，s₂=s₂=$\frac{{v}_{相}^{2}}{2a}$=$\frac{{{{（{4\sqrt{2}}）}^2}}}{2μg}=\frac{1.6}{μ}$
由几何知识得 $\frac{4}{x}=\frac{{4\sqrt{2}}}{s_2}$$x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}{s_2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\frac{1.6}{μ}=\frac{{4\sqrt{2}}}{5μ}$
当μ＜0.8，工件在甲传送带上一直匀加速运动，故 ${v_1}=\sqrt{2μgL}=\sqrt{20μ}$
s₂=s₂=$\frac{{v}_{相}^{2}}{2a}$=$\frac{{{4^2}+20μg}}{2μg}=\frac{4+5μ}{10μ}$
由几何知识得 $\frac{4}{x}=\frac{{\sqrt{{4^2}+20μ}}}{s_2}$$x=\frac{{\sqrt{4+5μ}}}{5μ}$
即当μ≥0.8，$x=\frac{{4\sqrt{2}}}{5μ}$；
当μ＜0.8，$x=\frac{{\sqrt{4+5μ}}}{5μ}$
答：（1）工件从放上甲传送带到相对乙传送带静止经历的时间是1.8s，皮带上的划痕是4.4m．
（2）若μ=0.9，求工件在传送带上运动过程中甲、乙传送带对工件共做8J的功．
（3）工件在乙传送带上相对乙沿x方向上的位移：当μ≥0.8，位移是$\frac{4\sqrt{2}}{5μ}$；当μ＜0.8，位移是$\frac{\sqrt{4+5μ}}{5μ}$．

点评 本题的关键在于分析物体的运动情况，确定其运动轨迹，要以传送带乙为参考系，然后根据牛顿第二定律、运动学公式、动能定理列式分析．