Question

6．如图，水平轨道AB长为s=100m，与竖直轨道圆轨道相切于B点，C为圆轨道最高点，圆轨道半径R=5m，一志愿者驾驶汽车体验通过圆轨道的无动力滑行过程．汽车从A点由静止以加速度a=2m/s²启动，沿轨道AB匀加速运动一段距离后，汽车功率达到额定功率P=40kW；继续运动到B点瞬间，志愿者关闭发动机，汽车匀通过圆轨道后安全返回到B点，测得汽车通过C点时的速度为2$\sqrt{35}$m/s，已知汽车在全过程中受到的阻力大小为f=2×10³N，志愿者和汽车总质量为m=10³kg，将汽车视为质点．计算中取g=10m/s²，π≈3．求：
（1）汽车到达B点的瞬时速度大小v；
（2）汽车以额定功率运动的时间t．

Answer 1

分析 （1）研究汽车B到C的过程，运用动能定理可求得汽车到达B点的瞬时速度大小v．
（2）汽车在匀加速阶段，运用牛顿第二定律求出牵引力，由P=Fv求出最大速度，由x=$\frac{{v}^{2}}{2a}$求得匀加速的位移，再对汽车达到额定功率后到B的过程，运用动能定理求
汽车以额定功率运动的时间t．

解答 解：（1）由B到C的过程，由动能定理得：
-Mg•2R-fπR=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
可得B点的速度 v=20m/s
（2）汽车在匀加速阶段，由牛顿第二定律得，
   F-f=ma
最大速度 v₁=$\frac{P}{F}$
代入数据解得 v₁=10m/s
匀加速阶段的位移为 x=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2a}$
可得位移 x=25m
则汽车达到额定功率后，由动能定理得
  Pt-f（s-x）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
联立可得 t=7.5s
答：
（1）汽车到达B点的瞬时速度大小v是10m/s；
（2）汽车以额定功率运动的时间t是7.5s．

点评 解决本题的关键要理清汽车的运动过程，分段运用动能定理，要注意汽车B到C的过程中，也受到阻力，这一点与常规题不同，阻力做功与路程有关．