Question

3．如图所示，有一由四分之一圆弧和水平面组成的光滑绝缘固定轨道，右端与水平放置的平行板电容器衔接．轨道末端恰处在两极板中央，电容器极板长L=0.1m，两极板间距离d=0.4cm．有一带电微粒从圆弧顶端无初速度滑下，若极板间不加电场．由于重力作用微粒恰能落到下极板中点O处；若极板间加竖直方向的匀强电场，带电微粒刚好落到下极板右边缘B点．已知微粒质量m=2.0×10^-6kg，电荷量q=1.0×10^-8C，取g=10m/s²．

（1）求四分之一圆弧的半径，微粒滑到圆弧底端对轨道的压力；
（2）极板间所加电场的电场强度多大？方向怎样？

Answer 1

分析 （1）、带电粒子以一定的初速度在两板中央平行于两板射入，此时没有电场，粒子做平抛运动，把运动在水平方向和竖直方向上进行分解，水平方向是匀速直线运动；竖直方向是自由落体运动，在两个方向上由运动学公式列式求解出初速度，在$\frac{1}{4}$圆弧轨道上根据机械能守恒求出半径，在轨道最低点根据向心力公式求出对轨道的压力．
（2）、由于两板之间加入了匀强电场，此时带电粒子在电场中的运动是类平抛运动，仍把运动在水平和竖直两个方向上分解，进行列式计算，再结合牛顿运动定律列式求解即可．

解答 解：（1）落到O点的粒子做平抛运动，由平抛运动规律得：
$\frac{L}{2}={v}_{0}^{\;}t$                 $\frac{d}{2}=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
所以：${v}_{0}^{\;}=\frac{L}{2}\sqrt{\frac{g}{d}}$=2.5m/s
根据机械能守恒定律：
$mgR=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
所以$R=\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}=0.3125m$
根据向心力公式：
${F}_{N}^{\;}-mg=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
${F}_{N}^{\;}=3mg=6×1{0}_{\;}^{-5}N$
根据牛顿第三定律对轨道的压力为$6×1{0}_{\;}^{-5}N$
（2）落到B点的粒子做类平抛运动
由类平抛运动规律得：
$L={v}_{0}^{\;}t$
$\frac{d}{2}=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$
mg-Eq=ma
所以：$E=\frac{mg-md\frac{{v}_{0}^{2}}{L}}{q}=1.5×1{0}_{\;}^{3}N/C$
方向竖直向上
答：（1）四分之一圆弧的半径0.3125m，微粒滑到圆弧底端对轨道的压力$6×1{0}_{\;}^{-5}N$；
（2）极板间所加电场的电场强度$1.5×1{0}_{\;}^{3}N/C$，方向竖直向上

点评 解得此类问题，首先要正确的对带电粒子在这两种情况下进行正确的受力分析，确定粒子的运动类型．解决带电粒子垂直射入电场的类型的题，应用平抛运动的规律进行求解．此类型的题要注意是否要考虑带电粒子的重力，原则是：除有说明或暗示外，对基本粒子（例如电子，质子、α粒子、离子等），一般不考虑重力；对带点微粒，（如液滴、油滴、小球、尘埃等），一般要考虑重力．