Question

4．“魔盘”是一种神奇的游乐设施，它是一个能绕中心轴转动的带有竖直侧壁的大型转盘，随着“魔盘”转动角速度的增大，“魔盘”上的人可能滑向盘的边缘．如图所示，质量为m的人（视为质点）坐在转盘上，与转盘中心O相距r，转盘的半径为R，人与盘面及侧壁间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g．
（1）当转盘的角速度大小为ω₀时，人未滑动，求此时人受到的摩擦力大小和方向；
（2）使转盘的转速缓慢增大，求人与转盘发生相对滑动时转盘的角速度大小ω；
（3）当人滑至“魔盘”侧壁时，只要转盘的角速度不小于某一数值ω_m，人就可以离开盘面，贴着侧壁一起转动，试求角速度ω_m的大小．

Answer 1

分析 （1）人做圆周运动，根据向心力的公式求此时人的向心力大小；
（2）静摩擦力提供圆周运动所需的向心力，当静摩擦力达到最大静摩擦力时，此时的角速度为最大角速度；
（3）人可以离开盘面，贴着侧壁一起转动时，竖直方向受力平衡，水平方向侧壁对人的支持力提供向心力，据此列式即可求解．

解答 解：（1）人做圆周运动，摩擦力作为向心力，有：
$f=mω_0^2r$
方向：指向转盘中心O点
（2）静摩擦力提供圆周运动所需的向心力，当静摩擦力达到最大静摩擦力时，此时的角速度为最大角速度，则：
μmg=mω²r
解得：$ω=\sqrt{\frac{μg}{r}}$
所以当$ω＞\sqrt{\frac{μg}{r}}$时，人与转盘发生相对滑动；
（3）人可以离开盘面，贴着侧壁一起转动时，竖直方向受力平衡，水平方向侧壁对人的支持力提供向心力，则有：
${F}_{N}={{mω}_{m}}^{2}R$
μF_N=mg
解得：${ω}_{m}=\sqrt{\frac{g}{μR}}$，与质量无关，所以不同意．
答：（1）人受到的摩擦力大小mω²r，方向指向转盘中心O点；
（2）当$ω＞\sqrt{\frac{μg}{r}}$时，人与转盘发生相对滑动；
（3）角速度ω_m的大小为$\sqrt{\frac{g}{μR}}$．

点评 解决本题的关键知道物块和圆盘一起做圆周运动，靠静摩擦力提供向心力，知道当人离开盘面，贴着侧壁一起转动时，竖直方向受力平衡，水平方向侧壁对人的支持力提供向心力．