Question

如图所示，长为L，质量为m₁的物块A置于光滑水平面上，在A的水平上表面左端放一质量为m₂的物体B（物体B可视为质点），B与A的动摩擦因数为μ．A和B一起以相同的速度V 向右运动，在A与竖直墙壁碰撞过程中无机械能损失，要使B一直不从A上掉下来，V必须满足什么条件？（ 用m₁、m₂，L 及μ表示）

Answer 1

分析：该题要注意分两种情况进行讨论：I．若m₁＞m₂木板与竖直墙碰撞后，以原速反弹，根据动量守恒定律求出两者最终的速度，根据能量守恒定律求出V必须满足什么条件．
II． 若m₁≤m₂，木板与竖直墙碰撞后，以原速反弹，根据动量守恒定律知木板将与竖直墙再次碰撞，最后木板停在竖直墙处，根据能量守恒定律求出V必须满足什么条件．

解答：解：A与墙壁发生无机械能损失的碰撞后，A以大小为V的速度向左运动，B仍以原速度V向右运动，以后的运动过程有三种可能
（1）若m₁＞m₂，碰墙后系统的总动量方向向左，则m₁和m₂最后以共同速度向左运动． 
设它们相对静止时的共同速度v₁，据动量守恒定律有
     m₁V-m₂V=（ m₁+m₂）v₁
若相对静止时B正好在A的右端，则系统机械能损失应为μm₂gL，
根据能量守恒有 

1

2

m1v2+

1

2

m2v2-

1

2

(m1+m2)

v

2 1

=μmgL  
解得：v=

μgL(m1+m2) 2m1

   
故 若m₁＞m₂，v≤

μgL(m1+m2) 2m1

 为所求． 
（2）若m₁=m₂，碰墙后系统的总动量为零，则A、B最后都静止在水平面上，但不再与墙壁发生第二次碰撞．    
设静止时A在B的右端，则有：

1

2

m1v2+

1

2

m2v2=μm2gL 
解得：v=

2μm2gL (m1+m2)

          
（3）若m₁＜m₂，碰墙后系统的总动量方向向右，则A将多次和墙壁碰撞，每次碰撞后总动量方向都向右．由于滑动摩擦力的作用，系统的向右方向的总动量逐渐减小至零，最后停在靠近墙壁处．  
设最后A静止在靠近墙壁处时，B静止在A的右端，
同理有：

1

2

m1v2+

1

2

m2v2=μm2gL  
解得：v=

2μm2gL (m1+m2)

    
由（2）（3）故 若m₁≤m₂，v≤

2μm2gL (m1+m2)

为所求．
答：要使B一直不从A上掉下来，若m₁＞m₂，v≤

μgL(m1+m2) 2m1

；若m₁≤m₂，v≤

2μm2gL (m1+m2)

．

点评：本题综合运用了动量守恒定律和能量守恒定律，难度较大，关键是根据动量守恒定律理清木板和木块最终的运动情况．