Question

如图所示，长为l的直管与水平地面成30°角固定放置，上端管口水平，质量为m的小球可在直管内自由滑动，用一根轻质光滑细线将小球与另一质量为M的物块相连，M=km．开始时小球固定于管底，物块悬挂于管口，小球、物块均可视为质点．现将小球释放，请回答下列问题：
（1）若m能沿直管向上运动，求k的范围；
（2）若m能飞出管口，求k的范围；
（3）有同学认为，k越大，m离开管口后，水平方向运动的位移就越大，且最大值为绳长l，请通过计算判断这种说法是否正确．（sin30°=0.5）

Answer 1

分析：（1）若m能沿直管向上运动，说明绳子拉力大于小球重力在斜面方向的分力；
（2）若m能飞出管口，m获得的动能大于克服重力做的功；
（3）m离开管口做平抛运动，由平抛运动规律求解水平位移的表达式．

解答：解：（1）若m能沿直管向上运动，由Mg＞mgsin30°，得k＞0.5；
（2）若m能飞出管口，m获得的动能大于克服重力做的功
设落地前的瞬间M的速度大小为v₁，根据动能定理有
由

1

2

（m+M） v₁²-0=Mgl sin30°-mgsin30°l sin30°，可解得：v₁²=

2k-1

2k+2

gl
由

1

2

mv₁²＞mgsin30°（l-l sin30°），可解得k＞2；
（3）设m飞出管口时的速度为v₂
由

1

2

mv₂²-

1

2

mv₁²=-mgsin30°（l-l sin30°），可解得：v₂²=

k-2

2k+2

gl
m在空中飞行的时间t=

2h g

=

2lsin30° g

=

l g

水平位移x=v₂ t=

k-2 2k+2 gl

?

l g

=

2

2

k-2 k+1

l
x=

2

2

k-2 k+1

l＜

2

2

l 
所以，水平位移不可能为l，这种说法是错误的．
答：（1）若m能沿直管向上运动，k＞0.5；
（2）若m能飞出管口，k的范围＞2；
（3）有同学认为，k越大，m离开管口后，水平方向运动的位移就越大，且最大值为绳长l，通过计算判断这种说法是错误的，水平位移不可能为l．

点评：本题考查牛顿第二定律，动能定理及平抛运动规律．
第（2）问中用动能定理求解，也可以用牛顿第二定律和运动学公式但是比较麻烦．