题目内容

（2011?江苏）如图所示，长为L、内壁光滑的直管与水平地面成30°角固定放置．将一质量为m的小球固定在管底，用一轻质光滑细线将小球与质量为M=km的小物块相连，小物块悬挂于管口．现将小球释放，一段时间后，小物块落地静止不动，小球继续向上运动，通过管口的转向装置后做平抛运动，小球在转向过程中速率不变．（重力加速度为g）
（1）求小物块下落过程中的加速度大小；
（2）求小球从管口抛出时的速度大小；
（3）试证明小球平抛运动的水平位移总小于
2
2
L．
分析：开始时小球沿斜面向上做匀加速，小物块向下也做匀加速，两者的加速度大小相等．对各自受力分析，运用牛顿第二定律列出等式，解出方程．
小物块落地静止不动，小球继续向上做匀减速运动，对其受力分析，运用牛顿第二定律解出此时的加速度（与前一阶段加速度不等），结合运动学公式求出小球从管口抛出时的速度大小．
运用平抛运动的规律表示出小球平抛运动的水平位移，利用数学知识证明问题．
解答：解：（1）设细线中的张力为T，对小球和小物块各自受力分析：

根据牛顿第二定律得：
对M：Mg-T=Ma
对m：T-mgsin30°=ma
且M=km
解得：a=
2k-1
2(k+1)
g
（2）设M落地时的速度大小为v，m射出管口时速度大小为v0，M落地后m的加速度为a0．
根据牛顿第二定律有：mgsin30°=ma0
对于m匀加速直线运动有：v2=2aLsin30°
对于小物块落地静止不动，小球m继续向上做匀减速运动有：v2-v02=2a0L（1-sin30°）
解得：v0=
k-2
2(k+1)
gL
（k＞2）
（3）平抛运动x=v0t    Lsin30°=
1
2
gt2 
解得x=L
k-2
2(k+1)

因为
k-2
k+1
＜1，所以x＜
2
2
L，得证．
答：（1）求小物块下落过程中的加速度大小是
2k-1
2(k+1)
g；
（2）求小球从管口抛出时的速度大小是
k-2
2(k+1)
gL
；
点评：本题考查牛顿第二定律，匀加速运动的公式及平抛运动规律．
要注意第（2）问中要分M落地前和落地后两段计算，因为两段的m加速度不相等．
第（3）问中，因为
k-2
k+1
＜1，所以x=L
k-2
2(k+1)
＜
2
2
L
练习册系列答案
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