题目内容

1.我国的航天航空事业取得了巨大的成就.2013年12月14号,“嫦娥三号”探测器在月球上的虹湾区成功实现软着陆.“嫦娥三号”在着陆前经历了发射入轨、地月转移、环月飞行等一系列过程,如图为“嫦娥三号”的飞行轨道示意图.已知月球表面的重力加速度为g月,月球半径为R.忽略月球自转的影响.
(1)求月球的第一宇宙速度(环绕速度);
(2)当“嫦娥三号”在环月段做匀速圆周运动时,运行轨道距月球表面的高度为H,求“嫦娥三号”的运行周期.

分析 (1)由重力提供向心力:$G\frac{Mm}{R^2}=m{g_月}$,可求得第一宇宙速度.
(2)“嫦娥三号”与月球的万有引力充当圆周运动的向心力:$G\frac{Mm}{{{{(R+H)}^2}}}=m\frac{{4{π^2}(R+H)}}{T^2}$求得周期.

解答 解:(1)质量为m的物体在月球表面运行时,做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,由牛顿第二定律$G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{v^2}{R}$①
      在月球表面$G\frac{Mm}{R^2}=m{g_月}$②
      由①②式得$v=\sqrt{{g_月}R}$
(2)“嫦娥三号”与月球的万有引力充当圆周运动的向心力,由牛顿第二定律$G\frac{Mm}{{{{(R+H)}^2}}}=m\frac{{4{π^2}(R+H)}}{T^2}$③
     由②③式得$T=\frac{2π(R+H)}{R}\sqrt{\frac{R+H}{g_月}}$
答:(1)月球的第一宇宙速度为$\sqrt{{g}_{月}R}$;
(2)“嫦娥三号”的运行周期为$T=\frac{2π(R+H)}{R}\sqrt{\frac{R+H}{g_月}}$

点评 本题关键是要知道“嫦娥三号”绕月球做圆周运动的向心力由万有引力提供,并且要能够根据题目的要求选择恰当的向心力的表达式.

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