Question

如图所示，在XOY坐标系中有一个磁感应强度为B的、圆形的匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面（图中未画出），它的边界正好通过坐标原点．X轴下方存在匀强电场，场强大小为E，方向与X轴负方向成60°角斜向下．一个质量为m、带电量为+q的粒子（不计重力）以速度V₀从O点沿Y轴正方向射入匀强磁场区域．粒子飞出磁场区域后，从b点处以与X轴正方向成30°穿过X轴进入匀强电场中，然后通过了b点正下方的c点．
（1）画出粒子运动的轨迹图，并判断磁场方向（向外或向里）；
（2）若改变圆形磁场的圆心位置（但保持它的边界仍通过坐标原点）而不改变粒子在电场中运动的轨迹，求此圆形磁场区域的最小面积；
（3）计算c点到b点的距离．

Answer 1

分析：（1）根据粒子在磁场中做匀速圆周运动，然后做匀速直线运动，最后在电场中做类平抛运动，并根据左手定则，可确定磁场的方向；
（2）根据牛顿第二定律，结合几何关系，可求得磁场区域的最小面积；
（3）根据运动学公式与牛顿第二定律，即可求解．

解答：解：（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，射出磁场后做匀速直线运动，进入电场时受力方向与速度垂直，做类平抛运动，
轨迹如图所示．磁场方向向外．
（2）粒子在磁场中运动时，洛仑兹力提供向心力：Bqv₀=

m v 2 0

R

         
要使磁场的区域有最小面积（即要使磁场充分利用），则oa为磁场区域的直径．
由几何关系可知磁场半径为：r=Rcos30°，解得：r=

3 mv0

2Bq

．                  
磁场区域的最小面积为：S=

3πm2 v 2 0

4B2q2

．                          
（3）粒子在垂直电场的方向上做匀速运动：Lsin30°=v₀t                
粒子在平行于电场的方向上由静止做匀加速直线运动：a=

qE

m

          
Lcos30°=

1

2

at²                                                  
消去t解得：L=4

3

m v 2 0

qE

．                                           

答：（1）画出粒子运动的轨迹如上图，并判断磁场方向向外；
（2）若改变圆形磁场的圆心位置（但保持它的边界仍通过坐标原点）而不改变粒子在电场中运动的轨迹，则此圆形磁场区域的最小面积S=

3πm2 v 2 0

4B2q2

．；
（3）计算c点到b点的距离4

3

m v 2 0

qE

．

点评：考查牛顿第二定律与运动学公式的应用，掌握几何关系的运用，并学会正确画出运动轨迹．