Question

6．如图所示，已知一传送带以 v₀=5m/s 的速度顺时针转动，传送带长度为s=5.5m，将一质量为m=2kg的物块轻轻放在传送带的底端，物块与传送带之间的动摩擦因数为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，传送带与水平面之间成30°．
（1）物块运动到顶端B时速度为多大；
（2）物块从底端A运动到顶端B所用的时间为多少；
（3）若传送带仍以5m/s的速度逆时针转动，且物块与传送带之间的动摩擦因数为$\frac{\sqrt{3}}{4}$，则物块轻放在传送带顶端B点由静止开始滑下，传送带长度为$\frac{395}{56}$m，其它条件均不变，则到达底端A时所用的时间为多少．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出加速度，由运动学公式求出匀加速运动的位移，判断出匀加速位移小于传送带的长度，之后以共同速度匀速运动到顶端；
（2）分别求出匀加速运动和匀速运动的时间，求出总时间；
（3）物块在传送带上先做匀加速运动，求出加速度和相应的位移，速度相等后，以另一加速度继续做匀加速运动，求出时间，即可求出到底端A的时间；

解答 解：（1）根据牛顿第二定律可知
$μmgcosθ-mgsinθ=m{a}_{1}^{\;}$
解得：${a}_{1}^{\;}=2.5$m/s²
由运动学知识可知
${v}_{\;}^{2}=2{a}_{1}^{\;}{x}_{1}^{\;}$
解得${x}_{1}^{\;}=5m＜5.5m$
即到达B端时的速度为5m/s
（2）由（1）可知物块先做匀加速直线运动再匀速直线运动，即有
${t}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{B}^{\;}-0}{{a}_{1}^{\;}}$
解得${t}_{1}^{\;}=2s$
${t}_{2}^{\;}=\frac{s-{x}_{1}^{\;}}{{v}_{B}^{\;}}$
解得${t}_{2}^{\;}=0.1s$
$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}$
解得t=2.1s
（3）由牛顿第二定律有
$mgsinθ+μmgcosθ=m{a}_{3}^{\;}$
解得：${a}_{2}^{\;}=\frac{35}{4}$m/s²
${t}_{3}^{\;}=\frac{v}{{a}_{2}^{\;}}=\frac{4}{7}s$
${x}_{3}^{\;}=\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{3}^{2}$=$\frac{1}{2}×\frac{35}{4}×（\frac{4}{7}）_{\;}^{2}=\frac{10}{7}m$，
${x}_{4}^{\;}=x-{x}_{3}^{\;}=\frac{45}{8}m$
解得${x}_{3}^{\;}=\frac{10}{7}m$
当物块运动到和传送带等速时，此时物块受到传送带的摩擦力沿着斜面向上，则有
$mgsinθ-μmgcosθ=m{a}_{3}^{\;}$
解得：${a}_{3}^{\;}=gsinθ-μgcosθ=10×\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}×10×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5}{4}m/{s}_{\;}^{2}$
${x}_{4}^{\;}=v{t}_{4}^{\;}+\frac{1}{2}{a}_{3}^{\;}{t}_{4}^{2}$
$\frac{45}{8}=5{t}_{4}^{\;}+\frac{1}{2}×\frac{5}{4}{t}_{4}^{2}$
解得${t}_{4}^{\;}=1s$，${t}_{4}^{′}=-9s$（舍去）
$t={t}_{3}^{\;}+{t}_{4}^{\;}=\frac{11}{7}s$
答：（1）物块运动到顶端B时速度为5m/s；
（2）物块从底端A运动到顶端B所用的时间为2.1s；
（3）到达底端A时所用的时间为$\frac{11}{7}s$

点评 考查皮带问题，掌握滑块处于皮带上运动情况，是解题的关键，同时掌握运动学公式的应用．