Question

18．如图，AB为半径R=0.8m的光滑$\frac{1}{4}$圆弧轨道，甲、乙为紧密排放在水平地面上的完全相同的两块长木板，质量均为M=2kg，甲的上面与圆弧轨道的末端相切于B点．现有一质量m=1kg可视为质点的滑块，有轨道顶端A无初速释放，滑过甲后到达乙上．已知滑块与两木板间的动摩擦因数均为μ₁=0.4，两木板与地面间的动摩擦因数均为μ₂=0.1．滑块滑过甲经历的时间为0.5s，取g=10m/s²，设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等．求：

（1）滑块经过B端时，圆弧轨道对它的支持力大小；
（2）每块木板的长度；
（3）滑块能否滑离木板乙，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒定律求出物块到达D的速度，然后应用牛顿第二定律求出轨道的支持力．
（2）根据受力分析及运动学公式即可求得木板长度；．
（3）利用牛顿第二定律和运动学公式分别求的达到相同速度各自位移，判断达到相同速度发生的位移差即可

解答 解：（1）物块由A到B机械能定恒，由机械能守恒定律得：
$mgR=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
代入数据解得：v=4m/s，
在D点，由牛顿第二定律得：
$N-mg=\frac{m{v}^{2}}{R}$，
代入数据解得：N=30N；
（2）滑块在甲上受到的摩擦力为：f=μmg=4N
对甲乙受到的地面摩擦力为：f′=μ₂（M+m）g+μ₂Mg=5N＞4N，故滑块在甲上时甲乙静止，滑块做减速运动，加速度为：$a=\frac{f}{m}=4m/{s}^{2}$
在0.5s内通过的位移：$x=vt-\frac{1}{2}a{t}^{2}=4×0.5-\frac{1}{2}×4×0．{5}^{2}m=1.5m$，故甲乙木板长度为1.5m
（3）滑上乙的速度为v′=v-at=2m/s
乙的加速度为$a′=\frac{{μ}_{1}mg-{μ}_{2}（M+m）}{M}=0.5m/s$
设经过时间t′速度到达相同v′-at′=at′，解得$t′=\frac{4}{9}s$
在时间t′内发生的相对位移为$x=v′t′-\frac{1}{2}at{′}^{2}-\frac{1}{2}a′t{′}^{2}=\frac{4}{9}m＜1.5m$，故不能滑离木板乙
答：（1）滑块经过B端时，圆弧轨道对它的支持力大小为30N；
（2）每块木板的长度为1.5m；
（3）滑块不能滑离木板乙

点评 本题是一道力学综合题，分析清楚物体运动过程，应用机械能守恒定律、牛顿第二定律、滑动摩擦力公式即可正确解题