题目内容

19．如图所示，竖直轻弹簧下端固定在水平面上，质量为m的小球与弹簧上端固定在一起．弹簧处于压缩状态，用一条拉紧的细线系住，此时细线上的拉力F=3mg．已知弹簧的弹性势能与弹簧形变量的平方成正比，且弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g．现剪断细线，弹簧将小球向上弹起，经△t时间，小球上升到最高点，上升的最大高度为h．在此过程中，下列判断正确的是（　　）
A．小球速度最大时上升的高度小于$\frac{h}{2}$B．地面对弹簧冲量的大小为mg△t
C．剪断细线前弹簧的弹性势能为mghD．小球的最大速度的大小为$\sqrt{\frac{3}{2}gh}$

分析 A、小球做简谐运动，上升的最大高度为h，结合对称性，上升$\frac{h}{2}$时动能最大，处于平衡状态；
B、对弹簧振子系统，对运动全程根据动量定理列式求解地面对弹簧冲量的大小；
C、对弹簧振子系统，根据机械能守恒定律列式分析；
D、结合机械能守恒定律列式求解小球的最大速度．

解答 解：A、小球做简谐运动，上升的最大高度为h，简谐运动具有对称性，故上升$\frac{h}{2}$时动能最大，速度最大，即小球速度最大时上升的高度等于$\frac{h}{2}$，故A错误；
B、规定向上为正，对弹簧和小球系统，根据动量定理，有：
I-mg△t=0-0
故I=mg△t，故B正确；
C、开始时细线上的拉力F=3mg，球受拉力、重力和弹簧的支持力平衡，故弹簧弹力为4mg，压缩量为$\frac{4mg}{k}$；
平衡位置弹簧的支持力为mg，压缩量为$\frac{mg}{k}$；
故$\frac{h}{2}$=$\frac{4mg}{k}-\frac{mg}{k}=\frac{3mg}{k}$，则h=$\frac{6mg}{k}$；
结合简谐运动的对称性，最高点时弹簧的伸长量为：h-$\frac{4mg}{k}$=$\frac{2mg}{k}$；
从剪断细线到小球运动到最高点为零过程，对弹簧和小球系统，重力势能增加了mgh，动能不变，故弹性势能减小了mgh，但最高点弹性势能不为零，故剪断细线前弹簧的弹性势能大于mgh，故C错误；
D、已知弹簧的弹性势能与弹簧形变量的平方成正比，设平衡位置弹性势能为Ep，则最低点弹簧的弹性势能为42Ep=16Ep，最高点弹性势能为22EP=4EP；
弹簧振子系统的机械能守恒，以最低点为重力势能零点，故：
$16{E}_{p}=\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}+{E}_{p}+mg\frac{h}{2}$（最低点和平衡点系统机械能相等）
16Ep=4Ep+mgh （平衡点和最高点系统机械能相等）
联立解得：vm=$\sqrt{\frac{3}{2}gh}$；故D正确；
故选：BD

点评 本题关键是明确小球和弹簧系统机械能守恒，同时要结合简谐运动的对称性进行分析，考虑三个点（最低点、平衡点、最高点）的受力情况和弹簧的形变量情况，不太难．

练习册系列答案
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