Question

11．如图所示，一根不可伸长的轻绳长为L，一端固定于O点，另一端系一质量m的小球（可视为质点）．将绳拉直后，从与O点等高的A点由释放小球，小球在竖直平面内沿圆弧运动，通过最低点B后立即受到一水平向左的恒力F的作用，到达与O点等高的C点时立即撤去F．空气阻力忽略不计．
（1）求小球刚到B点时，绳子对它拉力T的大小；
（2）为使小球能够沿圆周运动通过最高点D，求小球从B点运动到C点的过程中所加水平恒力的最小值F₀；
（3）改变恒力F的大小，小球在BC间运动的最大速度v以及达到最大速度时小球的位置P（图中未标出）均发生改变，设O、P两点的连线与OB的夹角为θ，试推导出v与θ的关系式．

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒定律求出小球刚到B点时的速度，再由牛顿第二定律求拉力T．
（2）小球恰好能够沿圆周运动通过最高点D时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求出小球通过D点的最小速度，再由动能定理求水平恒力的最小值F₀．
（3）当F与重力mg的合力通过O点时速度最大，由几何关系和动能定理结合解答即可．

解答 解：（1）小球从A到B的过程，由机械能守恒定律得：
  $\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=mgL
在B点，由牛顿第二定律得 T-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{L}$
联立解得 T=3mg
（2）小球恰好能够沿圆周运动通过最高点D时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律得
   mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{L}$
小球从A到D过程，由动能定理得
  F₀L-mgL=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
联立解得  F₀=1.5mg
（3）与重力场类比，可得F与mg的合力为 F′=$\sqrt{{F}^{2}+（mg）^{2}}$
当F′通过圆心O时小球的速度最大，此时有 tanθ=$\frac{F}{mg}$
从A到速度最大位置的过程，由动能定理得
  mgLcosθ+FLsinθ=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
联立解得 v=$\sqrt{\frac{2gL}{cosθ}}$
答：
（1）小球刚到B点时，绳子对它拉力T的大小是3mg．
（2）小球从B点运动到C点的过程中所加水平恒力的最小值F₀是1.5mg．
（3）v与θ的关系式是v=$\sqrt{\frac{2gL}{cosθ}}$．

点评 解决本题的关键知道小球做圆周运动向心力的来源，知道“绳模型”最高点的临界情况，结合牛顿第二定律和动能定理结合进行分析．