题目内容
14．圆形的木板静止在水平面上，在圆心处放一个可视为质点的小铁块，小铁块底部涂有黑色颜料，小铁块的质量为m，小铁块和木板间的动摩擦因素μ．在外力作用下圆木板以加速度a向右做匀加速运动，运动时间为T，小铁块相对圆木板滑动，随后圆木板以相同的加速度大小做匀减速运动，运动时间也为T．（1）若小铁块不从圆木板上滑下，则圆木板的半径至少为多大？
（2）若小铁块不从圆木板上滑下，则小铁块停止在距离圆心多远处？
（3）若小铁块不从圆木板上滑下，μ=0.1，a=3m/s2，T=1s，m=1kg，则小铁块和圆木板间因摩擦产生的热量为多少？
分析 （1）由题意可知，木板的加速度要大于铁块的加速度，所以撤去拉力后，木板的速度要大于铁块的速度，所以木板减速运动后，铁块仍然要做一段时间的加速运动，直到二者的速度相等后，铁块才开始减速．在这之前，木板的速度大于铁块的速度，铁块相对于木板一直向后运动，到速度相等时，二者之间位移的差即为所求．由匀变速直线运动的位移公式即可求出；
（2）铁块开始减速后，木板也继续减速，由于铁块的加速度比较小，所以铁块的速度将大于木板的速度，铁块相对于木板向前运动，二者都停止后产生的位移差，与（1）的结果的差，即为所求；
（3）由前两问的结果，将因摩擦产生的热量的计算公式Q=fL相对，即可求出结果．
解答 解：（1）铁块在水平方向受到摩擦力的作用做匀加速直线运动，加速度：$a′=\frac{μmg}{m}=μg$
由题意，设撤去拉力后再经过时间t铁块与木板的速度才相对，得：
a（T-t）=a′（T+t）
所以：$t=\frac{a-a′}{a+a′}T=\frac{a-μg}{a+μg}•T$ ①
木板加速阶段的位移：${x}_{1}=\frac{1}{2}a{T}^{2}$，②
木板减速阶段的位移：${x}_{2}=aT•t-\frac{1}{2}a{t}^{2}$ ③
铁块的位移：${x}_{3}=\frac{1}{2}a′（T+t）^{2}$ ④
在这之前，木板的速度大于铁块的速度，铁块相对于木板一直向后运动，所以它们之间位移的差：
△x1=x1+x2-x3 ⑤
联立①②③④⑤得：△x1=$\frac{2{a}^{2}+a•μg-{μ}^{2}{g}^{2}}{2（a+μg）}•{T}^{2}$ ⑥
小铁块不从圆木板上滑下，则圆木板的半径至少为$\frac{2{a}^{2}+a•μg-{μ}^{2}{g}^{2}}{2（a+μg）}•{T}^{2}$．
（2）此后，木板运动到停止时的时间是（T-t），木板的位移：${x}_{4}=a（T-t）•（T-t）-\frac{1}{2}a（T-t）^{2}$⑦
铁块水平方向受到摩擦力的作用做减速运动，所以加速度仍然等于a′，由运动的对称性可知，铁块减速阶段的位移与加速阶段的位移相等，等于x3．
铁块相对于木板向前的位移：△x2=x3-x4⑧
联立③④⑦⑧得：△x2=$\frac{2a•μg（a-μg）}{（a+μg）^{2}}•{T}^{2}$ ⑨
所以此时铁块到木板的圆心的距离是：
L=△x1-△x2=$\frac{2{a}^{3}-{a}^{2}μg+4a{μ}^{2}{g}^{2}-{μ}^{3}{g}^{3}}{（a+μg）^{2}}•{T}^{2}$
（3）铁块加速阶段，铁块相对于木板的位移是；铁块减速阶段，铁块相对于木板的位移是；
所以小铁块和圆木板间因摩擦产生的热量为：Q=f（△x1+△x2）=μmg（△x1+△x2）
将μ=0.1，a=3m/s2，T=1s，m=1kg，以及⑥⑨代入上式，得：
Q=3.25J
答：（1）若小铁块不从圆木板上滑下，则圆木板的半径至少为$\frac{2{a}^{2}+a•μg-{μ}^{2}{g}^{2}}{2（a+μg）}•{T}^{2}$；
（2）若小铁块不从圆木板上滑下，则小铁块停止在距离圆心$\frac{2{a}^{3}-{a}^{2}μg+4a{μ}^{2}{g}^{2}-{μ}^{3}{g}^{3}}{（a+μg）^{2}}•{T}^{2}$处；
（3）若小铁块不从圆木板上滑下，μ=0.1，a=3m/s2，T=1s，m=1kg，则小铁块和圆木板间因摩擦产生的热量为3.25J．
点评 该题通过铁块与木板的相对运动，考查运动的过程中产生的热量，属于多个物体、多个过程的问题．由于涉及的过程比较复杂，所以一定要理清铁块和木板的运动的过程，特别是在求木板的最小半径的过程中，不能当成是木板速度最大时二者之间位移的差．
名校课堂系列答案
如图甲所示，圆形线圈的匝数n=100，线圈两端与同一平面内放置的光滑平行轨道两端相连，导轨间距L=0.5m，长为1.2L的导体棒MN垂直放在导轨上且与导轨良好接触．电路中接入的电阻R=5Ω，导轨、导体棒与线圈的电阻均不计．在导轨平面范围内有磁感应强度大小B1=4T的匀强磁场，方向垂直纸面向外．在线圈内有垂直纸面向内的磁场B2，线圈中的磁通量随时间变化的图象如图乙所示．
（1）下列关于实验装置和操作的说法中正确的是A
（A）轨道倾斜是为了平衡小车甲受到的摩擦力
（B）轨道倾斜是为了平衡小车乙受到的摩擦力
（C）弹簧力应远小于小车甲所受的重力
（D）弹簧力应远小于小车乙所受的重力
（2）四个实验小组选用的小车甲（含加速度传感器）的质量分别是m1=1.0kg、m2=2.0kg、m3=3.0kg和m4=4.0kg，其中有三个小组已经完成了a-F图象，如图（b）所示，最后一个小组的实验数据如表所示，请在图（b）中完成该组的a-F图线；
| 实验次数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 拉力F（N） | 49.0 | 40.0 | 35.0 | 24.0 | 16.2 | 9.6 |
| 加速度a（m/s2） | 16.3 | 13.3 | 11.7 | 8.0 | 5.4 | 3.2 |
①如何收集数据？在a-F图象上做一条垂直于横轴的直线，与四条图线分别有个交点，记录下四个交点的纵坐标a，分别与各图线对应的m组成四组数据．；
②为了更直观地验证a和m的关系，建立的坐标系应以a为纵轴；以$\frac{1}{m}$为横轴．
| A． | 同步卫星与中轨道侦测卫星在轨道运行的动能之比为1：2 | |
| B． | 同步卫星与中轨道侦测卫星在轨道运行的周期之比为8：1 | |
| C． | 同步卫星与中轨道侦测卫星在轨道上运行的线速度之比为1：2 | |
| D． | 同步卫星与中轨道侦测卫星在轨道运行的加速度之比为1：4 |
如图所示．粗糙水平面与半径R=1.6m的光滑$\frac{1}{4}$圆弧轨道相切于B点，质量为m=2kg的物体（可视为质点）从A点以遮度vA=6m/s向右运动．到达B点时的速度大小为VB=4m/s，g=10m/s2
如图所示，A、B两个平行金属板之间相距6cm，板间是一匀强电场，两板间的电势差是30V，A板电势高，板间有M、N两点，M距A板2cm，N距B板1cm，如图所示．求：| A． | 在太空站中处于失重状态的水滴呈球形状，是由液体表面张力引起的 | |
| B． | 用气筒给自行车打气，越打越费劲，是气体分子之间斥力变大 | |
| C． | 在压强一定的情况下，晶体熔化过程中分子的平均动能增加 | |
| D． | 当气体温度升高时，气体分子运动平均速率增加 |