题目内容

13．如图所示，间距为L的光滑平行金属导轨，水平地放置在竖直方向的磁感应强度为B的匀强磁场中，一端接阻值是R的电阻，一电阻为r，质量为m的导体棒放置在导轨上，在外力F作用下从t=0时刻开始运动，其速度随时间的变化规律：v=vmsinωt，不计导轨电阻．求：
（1）电阻R的电功率．
（2）从t=0到t=$\frac{π}{2ω}$时间内外力所做的功．
（3）若在R的两端接上电压传感器，请你把该电压传感器上电压的形状用数学函数式表示出来．

分析 （1）根据感应电动势公式E=BLv求得感应电动势瞬时值表达式，可知棒中产生正弦式电流，根据感应电动势最大值Em，求出感应电动势的有效值，再由欧姆定律求出电流的有效值，再由公式P=I2R求R的电功率．
（2）根据动能定理研究从t=0到t=$\frac{π}{2ω}$时间内外力F所做的功．其中克服安培力做功大小等于电路中产生的热量．
（3）根据串联电路分压规律得到该电压传感器上的数学函数式．

解答 解：（1）从t=0开始运动，棒ab产生的感应电动势为：
  e=BLv=BLvmsinωt，是正弦式交变电流
感应电动势最大值为：Em=BLvm
其有效值为：E=$\frac{\sqrt{2}}{2}$Em
感应电流的有效值：I=$\frac{E}{R+r}$
电阻R的电功率为 P=I2R
联立以上各式解得 P=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}R{v}_{m}^{2}}{2（R+r）^{2}}$
（2）从t=0到t=$\frac{π}{2ω}$时间内，根据动能定理得：W=$\frac{1}{2}$mvm2+I2（R+r）t
联立得：外力F所做的功 W=$\frac{1}{2}$mvm2+$\frac{π{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}^{2}}{4ω（R+r）}$
（3）该电压传感器上电压的数学函数式 u=$\frac{R}{R+r}$e=$\frac{R}{R+r}$BLvmsinωt
答：（1）电阻R的电功率为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}R{v}_{m}^{2}}{2（R+r）^{2}}$．
（2）从t=0到t=$\frac{π}{2ω}$时间内外力所做的功为$\frac{1}{2}$mvm2+$\frac{π{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}^{2}}{4ω（R+r）}$．
（3）该电压传感器上电压的数学函数式为 u=$\frac{R}{R+r}$BLvmsinωt．

点评 本题是产生正弦式电流的一种方式，要能够把电磁感应和动能定理结合解决问题．知道正弦交变电流产生热量必须用有效值来求．

练习册系列答案
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3．如图1所示为“验证碰撞中动量守恒”类验的装置示意图：
①实验中小球A质量为mA，小球B质量为mB，它们的关系应该是：mA＞mB．
②实验前需要进行如下调节：
A．固定斜槽时，应使斜槽末端必须水平；
B．调整小支柱到槽口的距离和高度时要达到以下要求：当入射小球放在斜槽末端，被碰小球放在支柱上时，调整支柱，使两球接触，并且使两球的球心在同一水平直线上；
③实验中应使A球每次均在斜槽上同一位置从静止释放；
④已用游标卡尺测得小球直径为2.14cm，实验中小球的落点情况如图2所示，入射球A与被碰球B的质量比为mA：mB=3：2则实验中碰撞结束时刻两球动量大小之比pA：pB=2：3．
4．如图所示，轻质细绳AO和BO相交于O点，其A、B端是固定的，在O点悬挂质量为m的物体，平衡时，AO呈水平，BO与水平面夹角为θ，已知细绳AO和BO能承受的最大拉力相同，AO和BO的拉力大小分别为F1和F2．则（　　）
A．F1=mg tanθ
B．F2=$\frac{mg}{cosθ}$
C．F1与F2的合力大小为mg，方向竖直向上
D．增大物体的质量，最先断的是细绳AO
1．下列关于曲线运动的说法正确的是（　　）
A．曲线运动一定是变加速运动，其速度的大小、方向均发生变化
B．曲线运动可能是匀变速运动，其加速度可以恒定
C．做曲线运动的物体其位移的大小一定大于相应时间内的路程
D．物体在变力作用下一定能做曲线运动
8．如图两端封闭，均匀粗细，竖直放置的玻璃管内有一长为b的水银柱，将管内气体分为分成两个部分，已知l2=2l1，若使两部分气体同时升高相同温度，管内水银柱将如何移动．
18．如图所示是真空中两个带等量异种电荷的点电荷A、B周围的电场分布情况（电场线方向未标出）．图中O点为两点电荷连线的中点，MN为两点电荷连线的中垂线上的两点，OM=ON．下列说法中正确的是（　　）
A．O、M、N三点的场强的大小关系是EM=EN＞EO
B．O、M、N三点在同一个等势面上
C．检验电荷在O、M、N三点受到的电场力方向不相同
D．将一自由电荷从M点静止释放，它将沿MON做直线运动
5．若两颗人造地球卫星的轨道半径之比为R1：R2=3：1，则它们的周期之比T1：T2=$3\sqrt{3}$：1，向心加速度之比a1：a2=1：9．
2．磁流体发电机可简化为如下模型：两块长、宽分别为a、b的平行板，彼此相距L，板间通入已电离的速度为v的气流，两板间存在一磁感应强度大小为B的磁场，磁场方向与两板平行，并与气流垂直，如图所示．把两板与外电阻R连接起来，在磁场力作用下，气流中的正、负离子分别向两板移动形成电流．设该气流的导电率（电阻率的倒数）为σ，则（　　）
A．该磁流体发电机模型的内阻为r=$\frac{L}{σab}$
B．产生的感应电动势为E=Bav
C．流过外电阻R的电流强度I=$\frac{BLv}{R+\frac{L}{σab}}$
D．该磁流体发电机模型的路端电压为$\frac{BLvR}{R+σ\frac{L}{ab}}$
3．如图所示，两个壁厚可忽略的圆柱形金属筒A和B套在一起，底部到顶部的高度为18cm，两者横截面积相等，光滑接触且不漏气．将A用绳系于天花板上，用一块绝热板托住B，使它们内部密封的气体压强与外界大气压相同，均为1.0×105Pa，然后缓慢松开绝热板，让B下沉，当B下沉了2cm时，停止下沉并处于静止状态．求：
（1）此时金属筒内气体的压强．
（2）若当时的温度为27℃，欲使下沉后的套筒恢复到原来位置，应将气体的温度变为多少℃？

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