Question

17．如图所示，圆形匀强磁场半径R=4cm，磁感应强度B₂=10^-2T，方向垂直纸面向外，其上方有一对水平放置的平行金属板M、N，间距为d=2cm，N板中央开有小孔S．小孔位于圆心O的正上方，S与O的连线交磁场边界于A．$\overline{SA}$=2cm，两金属板通过导线与宽度为L₁=0.5m的金属导轨相连，导轨处在垂直纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为B₁=1T．有一长为L₂=1m的导体棒放在导轨上，导体棒与导轨接触良好且始终与导轨垂直．现对导体棒施一力F，使导体棒以v₁=8m/s匀速向右运动．有一比荷$\frac{q}{m}$=5×10⁷C/kg的粒子（不计重力）从M板处由静止释放，经过小孔S，沿SA进入圆形磁场，求：
（1）导体棒两端的电压；
（2）M、N之间场强的大小和方向；
（3）粒子在离开磁场前运动的总时间（计算时取π=3）．

Answer 1

分析 （1）根据公式E=BLv求出导体棒两端的电压；
（2）结合上题的结果求出M、N之间的电压，根据匀强电场的电场强度公式E=$\frac{U}{d}$，求出M、N之间场强的大小和方向；
（3）带电粒子在电场中加速，再在磁场中偏转，根据牛顿第二定律和运动学公式求出在电场中运动的时间．根据带电粒子在磁场中运动的周期公式和圆心角的大小，求出粒子在磁场中的运动的时间，从而得出离子在磁场中运动的总时间．

解答 解：（1）导体棒两端的电压为：U₁=E₂=B₂L₂v₁=1×1×8V=8V．

（2）M、N之间的电压为：U₂=E₂=B₂L₁v₁=1×0.5×8V=4V．
M、N之间的场强大小 E=$\frac{{U}_{2}}{d}$=$\frac{4}{0.02}$=200V/m，方向竖直向下．

（3）粒子在MN间加速运动的过程，有：a=$\frac{qE}{m}$=5×10⁷×200=1×10¹⁰m/s²；
由 d=$\frac{1}{2}$a${t}_{1}^{2}$得：t₁=$\sqrt{\frac{2d}{a}}$=$\sqrt{\frac{2×2×1{0}^{-2}}{1×1{0}^{10}}}$s=2×10^-6s，
粒子离开电场时的速度为：v=at₁=1×10¹⁰×2×10^-6=2×10⁴m/s，
粒子在SA段运动的时间为：t₂=$\frac{\overline{SA}}{v}$=$\frac{2×1{0}^{-2}}{2×1{0}^{4}}$=1×10^-6s，
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动．有：qvB₁=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{mv}{q{B}_{1}}$=$\frac{2×1{0}^{4}}{5×1{0}^{7}×1×1{0}^{-2}}$m=0.04m=4cm，
则知得：r=d
设粒子在磁场轨迹对应的圆心角为θ，则由几何知识得：θ=90°
则粒子在磁场中运动的时间为：t₃=$\frac{1}{4}$T=$\frac{1}{4}$•$\frac{2πm}{q{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5×1{0}^{7}×1×1{0}^{-2}}$s=3×10^-6s，
故粒子在离开磁场前运动的总时间 t=t₁+t₂+t₃=（2+1+3）×10^-6 s=6×10^-6s．
答：（1）导体棒两端的电压是8V；
（2）M、N之间的电场强度的大小200V/m，方向竖直向下；
（3）粒子在离开磁场前运动的总时间是6×10^-6 s．

点评 解决本题的关键掌握法拉第电磁感应定律，掌握带电粒子在匀强磁场中运动的半径公式和周期公式，结合几何关系进行求解．