Question

6．如图甲所示，相距L=1m、电阻不计的两根长金属导轨，各有一部分在同一水平面上，另一部分沿同一竖直面．质量均为m=50g、电阻均为R=1.0Ω的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数μ=0.5．整个装置处于磁感应强度B=1.0T、方向竖直向上的匀强磁场中．当ab杆在水平拉力F作用下沿导轨向右运动时，从t=0时刻开始释放cd杆，cd杆的υ_cd-t图象如图乙所示，取g=10m/s²（在0～1s和2～3s内，图线为直线）．

（1）求在0～1s内通过cd杆中的电流；
（2）若已知ab杆在1～2s内做匀加速直线运动，求这段时间内拉力F随时间变化的函数方程．

Answer 1

分析 （1）由图看出，在0～1.0s时间内，cd杆做匀加速直线运动，所受的安培力是恒力，根据速度图象的斜率求出加速度，由牛顿第二定律和安培力公式求解回路中感应电流的大小；
（2）由牛顿第二定律可求得cd杆的受力情况，根据（2）中方法求得ab杆的速度；则由牛顿第二定律可明确ab的加速度，再结合导体切割磁感线规律可求得速度表达式，从而即可求解．

解答 解：（1）在0～1s内，cd杆的υ_cd---t图线为倾斜直线，
因此cd杆做匀变速直线运动，加速度为：${a_1}=\frac{{{υ_t}-{υ_0}}}{t}=4.0m/{s^2}$ 
因此cd杆受向上的摩擦力作用，其受力图如图所示．

根据牛顿第二定律，有：mg-F_f=ma
其中F_f=μF_N=μF_A=μBIL
因此回路中的电流为：$I=\frac{m（g-a）}{μBL}=0.6A$
（2）在0～1s内，设ab杆产生的电动势为E，则：E=BLυ₁
由闭合电路欧姆定律知：$I=\frac{E}{2R}$
则ab杆的速度为：${υ_1}=\frac{2IR}{BL}$=1.2m/s
在2～3s内，由图象可求出cd杆的加速度为：a₂=-4m/s²
同理可求出ab杆的速度：υ₂=$\frac{{2m（g-{a_2}）R}}{{μ{B^2}{L^2}}}$=2.8m/s
在1～2s内，ab杆做匀加速运动，则加速度为：$a=\frac{{{υ_2}-{υ_1}}}{t}=1.6m/{s^2}$
对ab杆，根据牛顿第二定律有：F-μmg-BI'L=ma
ab杆在t时刻的速度：υ=υ₁+a（t-1）
回路中的电流：$I'=\frac{BLυ}{2R}$
联立可得：F=0.8t+0.13
答：（1）在0～1s内通过cd杆中的电流0.6A；
（2）这段时间内拉力F随时间变化的函数方程F=0.8t+0.13．

点评 本题涉及电磁感应过程中的复杂受力分析，解决这类问题的关键是，根据法拉第电磁感应定律求解感应电动势，然后根据牛顿第二定律求解拉力的大小，进一步根据运动状态列方程求解．