Question

16．如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置．两个质量均为m的小球A、B以不同的速度进入管内，若要使A球和B球通过最高点C时，恰好对管壁压力为零，求：
（1）A、B两球的速度要满足什么条件？
（2）A球通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，B球通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg，那么A、B两球落地点间的距离？

Answer 1

分析 （1）若要使A球和B球通过最高点C时，恰好对管壁压力为零，则在最高点由重力提供向心力，根据牛顿第二定律求解；
（2）对两个球分别受力分析，根据合力提供向心力，求出速度，此后球做平抛运动，正交分解后，根据运动学公式列式求解即可．

解答 解：（1）若要使A球和B球通过最高点C时，恰好对管壁压力为零，则在最高点由重力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}$
（2）两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力作为向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，A、B两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差．
对A球：3mg+mg=$m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$
解得
v_A=$\sqrt{4gR}$
对B球：mg-0.75mg=$m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$
解得：v_B=$\sqrt{\frac{1}{4}gR}$
由平抛运动规律可得落地时它们的水平位移为：
s_A=v_At=v_A$\sqrt{\frac{4R}{g}}$=4R
s_B=v_Bt=v_B$\sqrt{\frac{4R}{g}}$=R
所以有：s_A-s_B=3R
即AB两球落地点间的距离为3R．
答：（1）A、B两球的速度要满足$v=\sqrt{gR}$；
（2）A、B两球落地点间的距离为3R．

点评 本题关键是对小球在最高点处时受力分析，然后根据向心力公式和牛顿第二定律求出平抛的初速度，最后根据平抛运动的分位移公式列式求解．