题目内容
3．如图甲所示，两平行金屈板间接有如图乙所示的随时间t变化的电压U两板间电场可看作是均匀的，且两极板外无电场，极板长L=0.2m，板间距离d=0.2m，在金属板右侧有一边界为MN 的区域足够大的匀强磁场，MN与两板中线00'垂直，磁感应强度B=5×10-3T，方向垂直纸面向里．现有带正电的粒子流沿两板中线连续射入电场中，已知每个粒子的速度v0=105m/s，比荷q/m=108 C/kg，重力忽略不计，在每个粒子通过电场区域的极短时间内，电场可视作是恒定不变的．（1）试求带电粒子射出电场时的最大速度；
（2）从电场射出的带电粒子，进入磁场运动一段时间后又射出磁场．求粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间；
（3）试求从电场射出的带电粒子进入磁场后从磁场左边界射出区域的宽度．
分析 带电粒子在复合场中的运动，涉及到类平抛、圆周运动、匀变速等过程，应用到的规律有力学主干知识、电磁学基本公式等．对此题：
（1）粒子垂直于电场进入电场做类平抛运动，即路径为抛物线，要求最大速度，刚要求电场力做功最多，即从M或N边缘射出的粒子，这样由动能定律可以求出．
（2）粒子连续射入电场在变化的电场中运动，也可能上偏，也可能下偏．根据左手定则，将逆时针转动，显然与MN向上夹角越大，圆周运动的弧长越大，时间越长，只能是从下边缘穿出的粒子弧长最大，从上边缘穿出的粒子弧长最短．与磁场边缘成45°角进入磁场的粒子将转过270°或45°．
（3）由于磁场区域足够宽，粒子在磁场中做部分圆周运动后再从左边界穿出，根据几何关系，以及半径公式可以求出宽度．
解答 解：（1）偏转电压由0到200V的变化中，粒子流可能都能射出电场，也可能只有部分粒子能射出电场．设偏转的电压为U0时，粒子刚好能经过极板的右边缘射出．
$\frac{1}{2}d=\frac{1}{2}a{t}^{2}$ ①
而粒子的加速度：
$a=\frac{q{U}_{1}}{dm}$ ②
粒子在偏转电场中的时间：
$t=\frac{l}{{v}_{0}}$ ③
联立以上三式解得：得U1=100V．
从而知道偏转电压为100V时，粒子恰好能射出电场，且速度最大．
根据动能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=q{U}_{1}$ ④
代入数据解得：
${v}_{1}=\sqrt{2}×1{0}^{5}m/s=1.41×1{0}^{5}m/s$．
方向：斜向右上方或斜向右下方，与初速度方向成45°角．
（2）由（1）知，若粒子射出磁场的竖直分速度越大，则θ越小，故θ最小值为θm=45°，
此情景下圆弧对应的圆心角为270° 如图2所示．
则入射粒子在磁场中运行最长时间为
${t}_{max}=\frac{3}{4}T=\frac{3πm}{2qB}=3π×1{0}^{-6}s$
当粒子从上板边缘飞入磁场时，在磁场中运动的时间最短，如图3所示
∴${t}_{min}=\frac{1}{4}T=\frac{πm}{2qB}=π×1{0}^{-6}s$．
（3）设粒子射出电场速度方向与MN间夹角为θ．粒子射出电场时速度大小为：
$v=\frac{{v}_{0}}{sinθ}$ ⑤
又有洛伦兹力提供向心力：
$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$ ⑥
解得：$R=\frac{mv}{qB}=\frac{m{v}_{0}}{qBsinθ}$
因此粒子进入磁场点与射出磁场点间距离为：$S=2Rsinθ=\frac{2m{v}_{0}sinθ}{qB}=0.4m$
可见：距离S与粒子在磁场中运行速度的大小无关，为定值，进而有射出点区域宽度△D=d=0.2m
答：（1）带电粒子射出电场时的最大速度1.41×105m/s．
（2）粒子在磁场中运动的最长时间为3π×10-6s和最短时间π×10-6s．
（3）从电场射出的带电粒子进入磁场后从磁场左边界射出区域的宽度为0.2m．
点评 看起来复杂的问题，只是考察关键的几点，本题要记住粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式和周期公式，即：$R=\frac{mv}{qB}$ $T=\frac{2πm}{qB}$，能够结合画图可以更快找到关系式．
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如图所示，A、B两物体通过定滑轮连接，其质量分别为M和m，光滑斜面的倾角为θ，绳的一端连着B，另一端固定在A上．由静止释放，B开始加速向下运动，求：
如图所示，电荷量为+q，质量为m的带电粒子以平行于金属极板的初速度v0，从左侧中央飞入板间匀强电场，从右侧飞出电场时速度与初速度方向的夹角为θ，已知两平行金属板长为L，板间距离为d，粒子重力不计，求：
若在负电荷点电荷Q形成的电场中，一不计重力的带电粒子从A开始运动，并经过B、C点，则粒子经过B点电势最低，粒子经过A点时电势能最小（比较此三点）．粒子从A到C过程电场对粒子做功为负功（正功、负功或0）．
有一半径为R的均匀带电薄球壳，在通过球心的直线上，各点的场强为E随与球心的距离x变化的关系如图所示；在球壳外空间，电场分布与电荷量全部集中在球心时相同，已知静电常数为k，半径为R的球面面积为S=4πR2，则下列说法正确的是（ ）| A． | 均匀带电球壳带电密度为$\frac{{E}_{0}}{4πk}$ | |
| B． | 图中r=1.5R | |
| C． | 在x轴上各点中有且只有x=R处电势最高 | |
| D． | 球面与球心间电势差为E0R |
| A． | a方式为“高”挡 | B． | b方式为“低”挡 | C． | c方式为“关”挡 | D． | d方式为“中”挡 |