Question

4．如图所示，在矩形区域CDNM内有沿纸面向上的匀强电场，场强的大小E=5.0×10⁴V/m；在矩形区域MNGF内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=0.1T．已知CD=MN=FG=0.60m，CM=MF=d=0.20m．在C点处有一放射源，沿纸面向电场中各方向均匀地辐射出速率均为v₀=1.0×10⁶m/s的某种带正电粒子，粒子质量m=6.4×10^-27kg，电荷量q=3.2×10^-19C，粒子可以无阻碍地通过边界MN进入磁场，不计粒子的重力．求：
（1）粒子进入磁场的速度大小；
（2）粒子在磁场中做圆周运动的半径；
（3）边界FG上有粒子射出磁场的长度．

Answer 1

分析 （1）带电粒子先经电场加速，再进入匀强磁场中做匀速圆周运动．由动能定理粒子进入磁场时的速度大小．
（2）粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求在磁场中做圆周运动的半径．
（3）粒子垂直于电场方向射入电场中的粒子在该方向的位移最大，通过磁场后打在边界FG上最左端．垂直于MN射入的粒子，经磁场偏转后轨迹恰好与边界FG相切，切点就是粒子能射出磁场的最右端．画出两种情况下粒子运动的轨迹．先研究粒子在电场中类平抛运动的过程：运用运动的分解，根据牛顿第二定律和运动学公式相结合求出粒子离开电场时的速度方向与电场方向的夹角，以及垂直于电场方向的位移．根据几何知识求边界FG上有粒子射出磁场的范围长度．

解答 解：（1）电场中由动能定理得：
  qEd=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²
代入数据解得：v=$\sqrt{2}$×10⁶m/s
（2）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动．
 qBv=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
代入数据解得：R=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{\sqrt{2}}{5}$m=0.2$\sqrt{2}$m
（3）当带正电粒子沿CD方向射出时，粒子离F点的距离最大，
由于v=$\sqrt{2}$×10⁶m/s=$\sqrt{2}$v₀，R=0.2$\sqrt{2}$m=$\sqrt{2}$d，
所以粒子以与MN成45°的速度射入磁场，以垂直于FG的速度射出磁场，圆弧轨道圆心O在FG上，
则v_y=$\sqrt{{v}^{2}-{{v}_{0}}^{2}}$=v₀，
由v_y=at，a=$\frac{qE}{m}$，可知粒子射入磁场区域的点A与M点的距离为：
MA=s=vt₀=0.4m，
由几何知识可知HP=R-$\sqrt{{R}^{2}-{d}^{2}}$=（0.2$\sqrt{2}$-0.2）m，
所以边界FG上有粒子射出磁场的长度为FP=0.4+（0.2$\sqrt{2}$-0.2）=（0.2$\sqrt{2}$+0.2）m
答：
（1）粒子进入磁场的速度大小是$\sqrt{2}$×10⁶m/s；
（2）粒子在磁场中做圆周运动的半径是0.2$\sqrt{2}$m；
（3）边界FG上有粒子射出磁场的长度等于（0.2$\sqrt{2}$+0.2）m．

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