Question

11．如图所示，AB是一个半径为R的$\frac{1}{4}$圆弧（B点切线水平且距地面高也为R），在AB的圆弧轨道．上放一个半径也为R的带钩的小圆弧片CD，再在CD的D端放一个质量为m的小物块（可视为质点），已知小物块与CD弧片间动摩擦因数为μ=$\sqrt{3}$．现沿圆弧AB缓缓向上拉动CD弧片，直到小物块开始滑离CD弧片为止（计算时，可以认为最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小）．则：
（1）此过程中，CD弧片对小物块的静摩擦力对其所做的功为多少？
（2）若小物块滑离CD沿AB轨道下滑又从B端滑出，并做平抛运动，而后落到离E点水平距离也为R的水平地面上，则AB弧对小物块的滑动摩擦力对其所做的功为多少？

Answer 1

分析 （1）分析清楚物体运动过程，应用能量守恒定律求出功．
（2）物块离开轨道后做平抛运动，应用平抛运动规律与动能定理即可正确解题．

解答 解：（1）拉着CD弧片沿圆弧轨道AB缓缓向上运动过程中，对小物块进行受力分析，共受到重力mg、支持力F_N和静摩擦力F₀三个力的作用，设物块与O点的连线与竖直方向的夹角为θ，
那么，有：F_N=mgcosθ，当θ从零开始逐渐增大的过程中，F_N逐渐减小，CD弧片能够给小物块的最大静摩擦力F₀=μFN=mgcosθ越来越小，
而引起小物块沿CD弧片下滑趋势的重力的沿圆弧轨道的切线方向的分力mgsinθ却在逐渐增大，
当F₀=mgsinθ时，物块即将离开弧片CD而下滑，设此时θ=θ₀，则tanθ₀=μ=$\sqrt{3}$，θ₀=60°，
故此过程中物块沿圆弧AB上升的高度为：h=R（1-cos60°）=$\frac{1}{2}$R，
由功能关系得静摩擦力所做的功为：W₁=mgh=$\frac{1}{2}$mgR；
（2）设物块离开AB做平抛运动的初速度为v₀，
由平抛运动规律得：
R=v₀t，R=$\frac{1}{2}$gt²，
解得：v₀=$\sqrt{\frac{gR}{2}}$，
设物块沿AB弧下滑过程中，滑动摩擦力所做的功为W₂，则根据动能定理得：
$\frac{1}{2}$mgR+W₂=$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：W₂=-$\frac{1}{4}$mgR；
答：（1）此过程中，CD弧片对小物块的静摩擦力对其所做的功为$\frac{1}{2}$mgR．
（2）AB弧对小物块的滑动摩擦力对其所做的功为-$\frac{1}{4}$mgR．

点评 本题考查了求功，分析清楚物体运动过程，应用平抛运动规律、动能定理即可正确解题．