Question

18．如图所示，AB是一段光滑的水平支持面，一个质量为m的小物体P在支持面上以速度v₀滑到B点时水平飞出，落在水平地面的C点，其轨迹如图中虚线BC所示．已知P落地时相对于B点的水平位移OC=l，重力加速度为g，不记空气阻力的作用．
（1）现于支持面下方紧贴B点安装一水平传送带，传送带右端E与B点相距$\frac{1}{2}$，先将驱动轮锁定，传送带处于静止状态．使P仍以v₀离开B点在传送带上滑行，然后从传送带右端E水平飞出，恰好仍落在C点，其轨迹如图中虚线EC所示，求小物块P与传送带之间的动摩擦因数μ；
（2）若将驱动轮的锁定解除，并使驱动轮以角速度ω顺时针匀速转动，再使P仍以v₀从B点滑上传送带，已知驱动轮的半径为r，传送带不打滑．若要使P最后仍落到C点，则求：
①驱动轮转动的角速度ω应该满足什么条件？
②在满足?的条件下，P与皮带间摩擦产生的热量Q
（3）若驱动轮以不同的角度ω顺时针匀速转动，仍使P以v₀从B点滑上传送带，最后P的落地点为D（图中未画出）．试写出角速度ω对应的OD的可能值．

Answer 1

分析 （1）小物体从B到C的过程与从E到C的过程，均做平抛运动，运动时间相等，根据水平位移关系求初速度关系，再对小物体从B到E的过程，由动能定理求动摩擦因数．
（2））①当传送带的速度 v=ωr≤v_E，即ω≤$\frac{{v}_{0}}{2r}$时，物体在传送带上一直做匀减速运动，物体离开传送带时的速度为v_E．
②在满足①的条件下，由运动学公式求出物体与传送带间的相对位移，再求热量Q．
（3）根据传送带速度范围，分析物体在传送带上的运动情况，得到物体离开传送带的速度，从而结合平抛运动的规律求得OD．

解答 解：（1）小物体从B到C的过程，做平抛运动，水平方向有 l=v₀t₀．
小物体从E到C的过程水平方向有 $\frac{l}{2}$=v_Et₀．
可得  v_E=$\frac{{v}_{0}}{2}$
设小物体与传送带间的动摩擦因数为μ，小物体从B到E的过程，由动能定理得
-μmg$\frac{l}{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得  μ=$\frac{3{v}_{0}^{2}}{4gl}$
（2）①当传送带的速度 v=ωr≤v_E，即ω≤$\frac{{v}_{0}}{2r}$时，物体在传送带上一直做匀减速运动，物体离开传送带时的速度为v_E．
②在满足①的条件下，物体在传送带上做匀减速运动时间为t．
  则有 $\frac{\frac{l}{2}}{t}$=$\frac{{v}_{0}+{v}_{E}}{2}$=$\frac{3{v}_{0}}{4}$
解得 t=$\frac{2l}{3{v}_{0}}$
此过程中，传送带通过的路程 S_带=ωrt=$\frac{2ωrl}{3{v}_{0}}$
小物体与传送带间的相对位移 S_相=$\frac{l}{2}$-S_带=$\frac{l}{2}$-$\frac{2ωrl}{3{v}_{0}}$
所以P与皮带间摩擦产生的热量 Q=μmgS_相=$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{4}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{2ωr}{3{v}_{0}}$）
（3）（a）当传送带的速度满足 0＜v_带=ωr＜v_E，即 0＜ω＜$\frac{{v}_{0}}{2r}$时，物体在传送带上一直做匀减速运动，物体离开传送带时的速度为v_E，则 OD=l．
（b）如果物体在传送带上一直做匀加速而未与传送带共速，则物体的加速度始终为 a=μg
物体离开传送带时的速度达到最大值为v_max．
根据运动学公式 v_max²-v₀²=2μg$\frac{l}{2}$
解得 v_max=$\frac{\sqrt{7}}{2}{v}_{0}$
当传送带的速度 v_带=ωr≥$\frac{\sqrt{7}}{2}{v}_{0}$，即ω≥$\frac{\sqrt{7}{v}_{0}}{2r}$时，物体离开传送带时的速度为v_max．
则 OD=（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{7}}{2}$）l
（c）当传送带的速度 v_E＜v_带=ωr＜v_max，即$\frac{{v}_{0}}{2r}$＜ω＜$\frac{\sqrt{7}}{2}{v}_{0}$时
物体离开传送带时的速度为 v=v_带=ωr，则 OD=（$\frac{1}{2}$+$\frac{ωr}{{v}_{0}}$）l
答：
（1）小物块P与传送带之间的动摩擦因数μ是$\frac{3{v}_{0}^{2}}{4gl}$；
（2）①驱动轮转动的角速度ω应该满足ω≤$\frac{{v}_{0}}{2r}$的条件．
②在满足?的条件下，P与皮带间摩擦产生的热量Q为$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{4}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{2ωr}{3{v}_{0}}$）．
（3）（a）当 0＜ω＜$\frac{{v}_{0}}{2r}$时，OD为l．
（b）当ω≥$\frac{\sqrt{7}{v}_{0}}{2r}$时，OD为（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{7}}{2}$）l
（c）当$\frac{{v}_{0}}{2r}$＜ω＜$\frac{\sqrt{7}}{2}{v}_{0}$时OD为（$\frac{1}{2}$+$\frac{ωr}{{v}_{0}}$）l．

点评 本题要具有分析物体运动过程的能力，要抓住平抛运动的时间由高度决定这一知识点，要注意摩擦产生的热量与相对位移有关．