Question

20．一光滑圆环固定在竖直平面内，环上套着两个小球A和B（中央有孔），A、B间由细绳连接着，它们处于如图中所示位置时恰好都能保持静止状态．此情况下，B球与环中心O处于同一水平面上，AB间的细绳呈伸直状态，与水平线成30°夹角．已知B球的质量为m，求：
（1）细绳对B球的拉力；
（2）A球的质量；
（3）若剪断细绳，B球沿圆环下滑到最低点过程中，合力所做的功全部转化为其动能，求B球第一次过圆环最低点时对圆环的作用力．

Answer 1

分析 （1、2）对B球和A球受力分析，通过共点力平衡求出绳子的拉力以及A球的质量大小；
（3）剪断细绳后，根据动能定理求出B球到达最低点的速度，根据牛顿第二定律求出支持力的大小，从而求出B球对圆环的压力．

解答 解：（1）对B球，受力分析如图所示．

根据平衡条件有：
Tsin30°=mg
所以T=2mg…①
（2）对A球，受力分析如图所示．

在水平方向Tcos30°=N_Asin30°…②
在竖直方向N_Acos30°=m_Ag+Tsin30°…③
由以上方程解得：m_A=2m…④
（2）设B球第一次过圆环最低点时的速度为v，压力为N，圆环半径为r．
则　mgr=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$…⑥
N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…⑦
⑥⑦联解得：N=3mg…⑧
由牛顿第三定律得B球对圆环的压力N′=N=3mg方向竖直向下．
答：（1）细绳对B球的拉力为2mg；
（2）A球的质量为2m；
（3）若剪断细绳，B球沿圆环下滑到最低点过程中，合力所做的功全部转化为其动能，B球第一次过圆环最低点时对圆环的作用力为3mg．

点评 本题的关键是正确的对物体进行受力分析，由平衡求得作用力的大小，小球在轨道最低点时竖直方向的合力提供小球圆周运动的向心力．