题目内容

1．如图所示，质量为2m的木板A静止在光滑水平面上，其左端与固定台阶相距S，长木板的右端固定一半径为R光滑的四分之一圆弧，圆弧的下端与木板水平相切但不相连．质量为m的滑块B（可视为质点）以初速度v0=$\sqrt{2gR}$从圆弧的顶端沿圆弧下滑，当B到达最低点时，B从A右端的上表面水平滑入（滑入后将右侧四分之一圆弧撤去）．A与台阶碰撞无机械能损失，不计空气阻力，A、B之间动摩擦因数为μ，A足够长，B不会从A表面滑出；重力加速度为g．试分析下列问题：

（1）滑块B到圆弧底端时的速度大小v1；
（2）A与台阶只发生一次碰撞，求S满足的条件；
（3）S在满足（2）条件下，讨论A与台阶碰撞前瞬间B的速度．

分析 （1）滑块下滑时只有重力做功，根据机械能守恒求得滑块到达底端时的速度；
（2）木板与台阶碰撞后，滑块与木板组成的系统总动量水平向右，则只发生一次碰撞，根据动量守恒和动能定理分析求解；
（3）A与台阶只发生一次碰撞，根据动能定理和动量守恒，分A与滑块是共速之前碰撞和A与滑块共速之后碰撞分析求解．

解答 解：（1）滑块B从释放到最低点，机械能守恒，取水平面为零势面，由机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+mgR=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$     ①
由①解得：${v}_{1}=2\sqrt{gR}$              ②
（2）设A与台阶碰撞前瞬间，A、B的速度分别为vA和vB，由动量守恒定律得：
mv1=mvB+2mvA                   ③
若A与台阶只碰撞一次，碰撞后必须满足：|2mvA|≥|mvB|④
对A应用动能定理：$μmgS=\frac{1}{2}×2m{v}_{A}^{2}$              ⑤
联立③④⑤解得：$s≥\frac{R}{4μ}$                  ⑥
即A与台阶只能碰撞一次的条件是：$s≥\frac{R}{4μ}$
（3）设S=S0时，A左端到台阶板前瞬间，A、B恰好达到共同速度vAB，由动量守定律得：
mv1=（m+2m）vAB         ⑦
对A应用动能定理：$μmg{S}_{0}=\frac{1}{2}×2m{v}_{AB}^{2}$      ⑧
联立⑦⑧得：${s}_{0}=\frac{4R}{9μ}$
讨论：（i）当s≥s0即s$≥\frac{4R}{9μ}$时，AB共速后A才与挡板碰撞．
由⑦式可得A与台阶碰撞前瞬间的A、B的共同速度为：${v}_{AB}=\frac{{v}_{1}}{3}=\frac{2\sqrt{gR}}{3}$
即A与台阶碰撞前瞬间B的速度为：${v}_{B}={v}_{AB}=\frac{{v}_{1}}{3}$=$\frac{2\sqrt{gR}}{3}$
（ii）当${s}_{0}＞s≥\frac{R}{4μ}$即$\frac{4R}{9μ}＞s≥\frac{R}{4μ}$时，AB共速前A就与台阶碰撞，对A应用动能定理有：$μmgs=\frac{1}{2}×2m{v}_{A2}^{2}$
由上式解得A与台阶碰撞前瞬间的速度：${v}_{A2}=\sqrt{μgs}$
设此时B的速度为vB′，由动量守恒定律得：mv1=2mvA2+mvB′
由解得vB′=$2\sqrt{g}（\sqrt{R}-\sqrt{μs}）$
答：（1）滑块B到圆弧底端时的速度大小v1为$2\sqrt{gR}$；
（2）A与台阶只发生一次碰撞，S满足的条件为$s≥\frac{R}{4μ}$；
（3）S在满足（2）条件下，A与台阶碰撞前瞬间B的速度为$\frac{2\sqrt{gR}}{3}$或$2\sqrt{g}（\sqrt{R}-\sqrt{μs}）$．

点评 本题木块在小车上滑动的类型，分析物体的运动过程，对于系统运用动量守恒列方程，对于单个物体运用动能定理列式求解位移，都是常用的思路，要加强这方面的练习，提高解决综合问题的能力．

练习册系列答案
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