Question

18．如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和2R，内壁上A点有一质量为m的物块（视为质点）随圆锥筒一起以角速度ω转动，与筒壁始终相对静止，A点的高度为筒高的一半．则下列说法正确的是（　　）

• A． 当ω缓慢增大时，物块受到筒壁的摩擦力一直增大
• B． 当ω缓慢增大时，物块受到筒壁的作用力一直增大
• C． 当ω=$\sqrt{\frac{g}{R}}$时，小物块受到的摩擦力大小为$\frac{3\sqrt{5}}{10}$mg
• D． 当ω=$\sqrt{\frac{7g}{R}}$时，小物块受到的摩擦力大小为$\frac{3\sqrt{5}}{10}$mg

Answer 1

分析 根据牛顿第二定律求出物块所受摩擦力为零时的角速度，从而判断出摩擦力的方向，抓住竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，求出摩擦力的大小．

解答 解：A、当物块所受的摩擦力为零时，物块的受力如图所示，由几何关系知，tan（90°-θ）=$\frac{1}{2}$，根据mgtanθ=m$•\frac{R}{2}{ω}^{2}$得，解得ω=$\sqrt{\frac{4g}{R}}$，
当角速度$ω＞\sqrt{\frac{4g}{R}}$，物块所受的静摩擦力沿筒壁向下，当角速度增大时，物块所受筒壁的摩擦力增大，当角速度$ω＜\sqrt{\frac{4g}{R}}$，物块所受的静摩擦力沿筒壁向上，当角速度增大时，摩擦力减小，故A错误．
B、因为角速度增大时，向心力增大，即物块所受的合力增大，合力等于重力和物块所受筒壁作用力的合力，根据平行四边形定则知，物块受到筒壁的作用力增大，故B正确．
C、当ω=$\sqrt{\frac{g}{R}}$时，物块所受的静摩擦力沿筒壁向上，在水平方向上有：$Nsinθ-fcosθ=m•\frac{R}{2}{{ω}_{1}}^{2}$，竖直方向上有：Ncosθ+fsinθ=mg，
联立解得f=$\frac{3\sqrt{5}}{10}mg$，故C正确．
D、当ω=$\sqrt{\frac{7g}{R}}$时，物块所受的静摩擦力方向沿筒壁向下，在水平方向上有：$Nsinθ+fcosθ=m•\frac{R}{2}{{ω}_{2}}^{2}$，在竖直方向上有：Ncosθ-fsinθ=mg，
联立解得f=$\frac{3\sqrt{5}}{10}mg$，故D正确．
故选：BCD．

点评 本题是圆锥摆类型，解决本题的关键知道物块做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解，难度中等．