Question

4．质量均为M的A、B两个物体由一轻弹簧相连，竖直静置于水平地面上．现有一种方案可以使物体A在被碰撞后的运动过程中，物体B在某一时刻恰好能脱离水平地面．如图所示，质量为m的物块C由距A正上方h处自由下落，与A碰撞后粘合在一起．已知M=2kg，m=1kg，h=0.45m，重力加速度g=10m/s²，整个过程弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力．求：
（1）C与A碰撞前瞬间速度的大小；
（2）C、A系统因碰撞损失的机械能；
（3）弹簧的劲度系数k．

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒定律可以求出C与A碰撞前瞬间速度的大小；
（2）由动量守恒定律先求出碰撞后二者共同速度，然后由能量守恒定律可以求出损失的机械能；
（3）由平衡条件、动量守恒定律、机械能守恒定律可以求出弹簧的劲度系数k．

解答 解：（1）设物体C自由落下h时速度为v，由动能定理得：$mgh=\frac{1}{2}m{v^2}$
解得：$v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2×10×0.45}=3m/s$
（2）设物体C与A碰撞并粘合后一起竖直向下运动速度大小为v₁，由动量守恒定律得：mv=（m+m）v₁
代入数据解得：v₁=1m/s
C、A系统因碰撞损失的机械能：$△E=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}（m+M）{v}_{1}^{2}$
代入数据得：△E=3J
（3）分析C、A共速后的运动过过程，初始时刻弹簧处于压缩状态，设此时的形变量为x，到达最高点时处于拉伸状态，恰好压缩量等于伸长量，取起始位置为重力势能零参考面，由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}（m+M）v_1^2+{E_{p弹}}=（m+M）g2x+{E_{p弹}}$
得 $x=\frac{v_1^2}{4g}$
再由 kx=Mg
解得：k=800N/m
答：（1）C与A碰撞前瞬间速度的大小是3m/s；
（2）C、A系统因碰撞损失的机械能是3J；
（3）弹簧的劲度系数是800N/m．

点评 本题难度较大，过程比较复杂，分析清楚物体的运动过程、应用机械能守恒定律、平衡条件、动量守恒定律即可正确解题，分析清楚运动过程是正确解题的关键．