Question

12．月球半径约为地球半径的$\frac{1}{4}$，月球表面重力加速度约为地球表面重力加速度的$\frac{1}{6}$，把月球和地球都视为质量均匀分布的球体．求：
（1）环绕地球和月球表面运行卫星的线速度之比$\frac{{v}_{地}}{{v}_{月}}$；
（2）地球和月球的平均密度之比$\frac{{ρ}_{地}}{{ρ}_{月}}$．

Answer 1

分析 （1）卫星做运动运动所需向心力由万有引力提供，由牛顿第二定律求出两卫星的线速度，然后再求它们的比值．
（2）星球表面的物体受到的重力等于星球对它的万有引力，据此求出星球的质量，然后由密度公式求出星球的密度，最后求出地球与月球的平均密度之比．

解答 解：（1）根据题意，在月球表面物体的重力等于万有引力：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
由万有引力定律提供向心力得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
联立解得：v=$\sqrt{gR}$
所以：$\frac{{v}_{地}}{{v}_{月}}=\sqrt{\frac{{g}_{地}{R}_{地}}{{g}_{月}{R}_{月}}}$=2$\sqrt{6}$：1
 （2）设想将一质量为m₀的小体放在天体表面处．由万有引力定律可得
在月球表面物体的重力等于万有引力：G$\frac{M{m}_{0}}{{r}^{2}}$=m₀g
又因为：ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{r}^{3}}$
联立解得：ρ=$\frac{g}{4Gπr}$
所以地球和月球的平均密度之比为：$\frac{{ρ}_{地}}{{ρ}_{月}}=\frac{{g}_{地}{r}_{月}}{{g}_{月}{r}_{地}}=1.5$，即：$\frac{{ρ}_{地}}{{ρ}_{月}}$=$\frac{3}{2}$．
答：（1）环绕地球和月球表面运行卫星的线速度之比为2$\sqrt{6}$：1；
（2）地球和月球的平均密度之比为3：2．

点评 解答天体运动的两条思路：①卫星绕地球或月球做圆周运动时，万有引力提供向心力；②在星球表面物体的重力等于万有引力．
同时在解题时注意黄金代换：GM=gR²．