Question

14．如图所示，虚线AO与沿水平方向的x轴的夹角为135°，x轴上、下方分别有如图所示的水平向右的匀强电场E₁和竖直向上的匀强电场E₂，且电场强度E₁=E₂=20N/C，x轴下方还存在垂直于纸面向外的匀强磁场B，已知磁感应强度B=20T．现将一个带正电微粒从虚线AO上的A点由静止释放，微粒恰能沿AO做直线运动．A点离原点O的距离d=$\frac{\sqrt{2}}{10}$m，重力加速度g取10m/s²．求：
（1）微粒从进入磁场区域开始到离开磁场区域所经历的时间t；
（2）微粒第一次回到OA直线上的某位置时，离原点O的距离L．

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律求出尘粒的加速度，由速度位移公式求出速度．尘粒在匀强磁场中做匀速圆周运动，牛顿第二定律与周期公式求出尘粒的运动时间．
（2）尘粒离开磁场后做类平抛运动，由类平抛运动规律可以求出距离L．

解答 解：（1）由题意，在x轴上方的电场中，微粒受电场力和重力的作用，将沿AO作初速为零的匀加速直线运动．设微粒质量为m、电荷量为q，到达O点的速度为v，则有   qE=mg，即$\frac{m}{q}=\frac{E}{g}=2kg/C$
 合力${F}_{合}=\frac{mg}{cos45°}$
加速度为：$a=\frac{{F}_{合}}{m}=\frac{g}{cos45°}=10\sqrt{2}m/{s}^{2}$
 由v²=2ad，
代入数据解得：v=2m/s
在x轴下方的复合场中，因微粒所受的重力和电场力平衡，故微粒将在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动．其周期为：
$T=\frac{2πm}{qB}$
代入数据得：T=0.628s
依题意作出微粒在磁场中运动的轨迹示意图（如图），可知微粒从进入磁场区域直到离开，所用时间为：
$t=\frac{3}{4}T=\frac{3}{4}×0.628s=0.471$s

（2）微粒在磁场中做圆周运动的半径：$R=\frac{mv}{qB}$
代入数据得：R=0.2m
微粒离开磁场重新进入x轴上方的电场中，速度方向与x轴成45°，沿速度方向的分运动为匀速直线运动，垂直速度方向（即AO方向）的分运动为初速度为零的匀加速直线运动．
沿速度方向有s₁=R=vt′，$t′=\frac{R}{v}=\frac{0.2}{2}s=0.1$s
垂直速度方向有：${s}_{2}=\frac{1}{2}at{′}^{2}$
代入数据得：${s}_{2}=\frac{\sqrt{2}}{20}$m
因s₂＜R，故微粒一定在x轴上方穿越AO直线，所以微粒第一次回到AO直线上的位置Q时，离原点O的距离为$L=R-{s}_{2}=0.2-\frac{\sqrt{2}}{20}≈0.13$m
答：（1）微粒从进入磁场区域开始到离开磁场区域所经历的时间是0.471s；
（2）微粒第一次回到OA直线上的某位置时，离原点O的距离是0.13m．

点评 本题考查了带电尘粒在电场与磁场中的运动，分析清楚运动过程是正确解题的前提与关键，分析清楚运动过程后，应用牛顿第二定律、运动学公式、类平抛运动规律即可正确解题．