Question

9．F1赛车都是世界著名汽车厂家的精心杰作．一辆F1赛车的价值超过七百万美元，甚至不亚于一架小型飞机的价值．F1汽车大赛，不仅是赛车手勇气、驾驶技术和智慧的竞争，在其背后还进行着各大汽车公司之间科学技术的竞争．某赛车公司为了确定该厂生产的某一款新型F1赛车的性能，从某一路标由静止开始做匀加速直线运动到下一路标的位移为S，若加速度与每秒钟耗油量Y的关系式为Y=ka+β（其中Q为耗油量；k＞0；β＞0），求赛车运动到下一路标的最小耗油量Q和所对应的加速度以及在此加速度下到达下一路标的速度．

Answer 1

分析 明确赛车运过程，知道赛车一直做匀加速运动，根据位移公式可求得速度，再根据题意即可明确油量表达式；根据均值不等式即可明确油量的最小值以及加速度大小，最后根据速度和位移关系即可求得末速度．

解答 解：由S=$\frac{1}{2}$at²可得：t=$\sqrt{\frac{2S}{t}}$
由题意可得赛车行驶到下一路标S时耗油量为Q=Yt
则有：Q=（ka+β）$\sqrt{\frac{2S}{a}}$=（K$\sqrt{a}$+β$\frac{1}{\sqrt{a}}$）$\sqrt{2S}$
由上式可知$\sqrt{2S}$为常数，K$\sqrt{a}β\frac{1}{\sqrt{a}}$=Kβ为常数；
故当K$\sqrt{a}$=β$\frac{1}{\sqrt{a}}$时，即a=$\frac{β}{K}$时，耗油量最小
其值为Q=2$\sqrt{2SKβ}$
此时a=$\frac{β}{K}$
由v_t²-v₀²=2as解得：v_t=$\sqrt{\frac{2βS}{K}}$
答：赛车运动到下一路标的最小耗油量Q为（K$\sqrt{a}$+β$\frac{1}{\sqrt{a}}$）$\sqrt{2S}$；所对应的加速度$\frac{β}{K}$；在此加速度下到达下一路标的速度为$\sqrt{\frac{2βS}{K}}$．

点评 本题考查匀变速直线运动规律的应用，同时注意题目中给出的信息以及数学规律的应用是解题的关键，掌握均值不等式a²+b²≥2ab的准确应用．