Question

4．一列简谐横波在均匀介质中沿x轴正方向传播，波长不小于30cm．O和A是介质中平衡位置分别位于x=0和x=10cm处的两个质点．t=0时开始观测，此时质点O的位移为y=5cm，质点A处于波峰位置；t=$\frac{2}{3}$s时，质点O第一次回到平衡位置，t=1$\frac{1}{3}$ s时，质点A第一次回到平衡位置．求：
（1）简谐波的周期、波速和波长；
（2）质点O的位移随时间变化的关系式．

Answer 1

分析 （1）利用A点在t=0s时和t=1$\frac{1}{3}$ s时所处的位置可求得简谐波的周期，利用波速的公式v=$\frac{x}{t}$可求得波速，利用波速波长及周期之间的关系式λ=vT可求得波长；
（2）先根据题意求出简谐波的圆频率，设出简谐振动的通式，利用0s时和1s时的O点的位移，可得知初相位，即为可知质点O的位移随时间变化的关系式．

解答 解：（1）设振动周期为T，由于质点A在0到1$\frac{1}{3}$ s内由最大位移处第一次回到平衡位置，经历的是$\frac{1}{4}$个周期，即$\frac{1}{4}$T=$\frac{4}{3}$s，由此可知 T=$\frac{16}{3}$s…①
由于质点O与A的距离10c m小于半个波长，且波沿x轴正向传播，O在$\frac{2}{3}$s时回到平衡位置，而A在1$\frac{1}{3}$ s时回到平衡位置，时间相差$\frac{2}{3}$s．传播距离为 x=10cm=0.1m
可得波的速度 v=$\frac{x}{t}$=$\frac{0.1}{\frac{2}{3}}$=0.15 m/s…②
利用波长、波速和周期的关系得，简谐波的波长  λ=vT=0.15×$\frac{16}{3}$s=0.8m…③
（2）设质点O的位移随时间变化的关系为  y=Asin（$\frac{2π}{T}$t+φ₀）…④
将①式及题给条件代入上式得：
   $\left\{\begin{array}{l}{5=Asin{φ}_{0}}\\{0=Asin（\frac{2π}{4}+{φ}_{0}）}\end{array}\right.$…⑤
解得 φ₀=$\frac{3}{4}$π，A=5$\sqrt{2}$cm…⑥
所以质点O的位移随时间变化的关系式为：y=5$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{8}$t+$\frac{3}{4}π$）cm或y=5$\sqrt{2}$cos（$\frac{3π}{8}$t+$\frac{1}{4}$π）cm
答：（1）简谐波的周期是$\frac{16}{3}$s、波速是0.15m/s，波长是0.8m；
（2）质点O的位移随时间变化的关系式是y=5$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{8}$t+$\frac{3}{4}π$）cm或y=5$\sqrt{2}$cos（$\frac{3π}{8}$t+$\frac{1}{4}$π）cm．

点评 该题首先要求学生能准确的从题干中提取出相关的信息，熟练的利用波速、波长、周期之间的关系式及周期的定义进行相关问题的解答．对于第二问的解答有一定的难度，要注意利用数学知识求解初相位，同时要注意会分别用正弦和余弦来表述振动的关系式．