Question

8．如图所示，一质量为m=2kg的滑块从半径为R=0.2m的光滑四分之一圆弧轨道的顶端A处由静止滑下，A点和圆弧对应的圆心O点等高，圆弧的底端B与水平传送带平滑相接．已知传送带匀速运行的速度为v₀=4m/s，B点到传送带右端C的距离为L=2m．当滑块滑到传送带的右端C时，其速度恰好与传送带的速度相同．（g=10m/s²）求：
（1）滑块到达底端B时对轨道的压力；
（2）滑块与传送带间的动摩擦因数μ；
（3）此过程中，由于滑块与传送带之间的摩擦而产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）滑块从A运动到B的过程中，只有重力做功，根据机械能守恒定律求出滑块到达底端B时的速度．滑块经过B时，由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，根据牛顿运动定律求解滑块对轨道的压力；
（2）滑块滑上传送带后向右做匀加速运动，由题，滑块滑到传送带的右端C时，其速度恰好与传送带的速度相同，根据动能定理或牛顿第二定律、运动学公式求解动摩擦因数μ；
（3）根据运动学公式求出滑块从B到C的运动时间，即可求出此时间内传送带的位移，得到滑块与传送带的相对位移，因摩擦而产生的热量Q等于滑动摩擦力与相对位移大小的乘积．

解答 解：（1）滑块从A运动到B的过程中，由机械能守恒定律得：
mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得：v_B=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×0.2}$=2m/s
在B点，由牛顿第二定律有：N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
代入解得：N=60N
由牛顿第三定律可知，滑块对轨道的压力为 N′=N=60N，方向竖直向下．
（2）滑块从B运动到C的过程中，根据牛顿第二定律得：μmg=ma
又：${v}_{0}^{2}$-${v}_{B}^{2}$=2aL
联立上两式解得：μ=0.3
（3）设滑块从B运动到C的时间为t，
加速度：a=μg=3m/s²．
由v₀=v_B+at，得：t=$\frac{{v}_{0}-{v}_{B}}{a}$=$\frac{4-2}{3}$s=$\frac{2}{3}$s
在这段时间内传送带的位移为：
  S_传=v₀t=$\frac{8}{3}$m
传送带与滑块的相对位移为：△S=S_传-L=$\frac{8}{3}$-2=$\frac{2}{3}$m
故滑块与传送带之间的摩擦而产生的热量：Q=μmg•△S=0.3×2×10×$\frac{2}{3}$=4J．
答：（1）滑块到达底端B时对轨道的压力是60N，方向竖直向下；
（2）滑块与传送带问的动摩擦因数μ是0.3；
（3）此过程中，由于滑块与传送带之间的摩擦而产生的热量Q是4J．

点评 本题是机械能守恒定律、向心力、牛顿第二定律、运动学公式的综合应用，容易出错的地方是：Q=μmgL，应根据相对位移求解摩擦生热．