Question

14．如图所示，一粗糙斜面AB与光滑圆弧轨道BCD相切，O为圆弧轨道的圆心，OD处在同一水平面上，C为圆弧轨道的最低点，圆弧BC所对圆心角θ=37°．已知斜面AB的长度为L=2.0m，圆弧轨道半径为R=0.5m．质量为m=1kg的小物块（可视为质点）从斜面顶端A点处由静止开始沿斜面下滑，从B点进入圆弧轨道运动并从轨道边缘D点竖直向上飞出，离开D点以后上升的最大高度为h=0.4m，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s²，空气阻力不计，求：
（1）物块第一次经C点时对圆弧轨道的压力；
（2）物块第一次返回斜面运动的最高点距A点的距离．

Answer 1

分析 （1）物块离开D点做竖直上抛运动，由匀变速直线运动的速度位移公式可以求出物块到达D点的速度，从C到D过程应由动能定理可以求出物块到达C点的速度，在C点应由牛顿第二定律可以求出轨道的支持力，然后求出物块对轨道的压力．
（2）从A到C过程应由动能定理可以求出动摩擦因数，物块从C点向斜面运动过程应由动能定理可以求出物块在斜面上的位移，然后求出物块第一次返回斜面运动的最高点与A点间的距离．

解答 解：（1）物块离开D点做竖直上抛运动，
由匀变速直线运动的速度位移公式可知：
v_D=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.4}$=2$\sqrt{2}$m/s，
从C到D过程，由动能定理得：
-mgR=$\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$mv_C²，解得：v_C=3$\sqrt{2}$m/s，
在C点，由牛顿第二定律得：F-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，
解得：F=46N，由牛顿第三定律可知，
物块对轨道的压力：F′=F=46N，方向：竖直向下；
（2）物块从A到C过程，由动能定理得：
mgLsinθ+mgR（1-cosθ）-μmgLcosθ=$\frac{1}{2}$mv_C²-0，
物块从C点上升到斜面最高点过程，由动能定理得：
-mgSsinθ-mgR（1-cosθ）-μmgScosθ=0-$\frac{1}{2}$mv_C²，解得：S=1m，
物块第一次返回斜面运动的最高点距A点的距离：d=L-S=2-1=1m；
答：（1）物块第一次经C点时对圆弧轨道的压力大小为46N，方向：竖直向下；
（2）物块第一次返回斜面运动的最高点距A点的距离为1m．

点评 本题考查了求压力与距离问题，考查了动能定理的应用，分析清楚物体运动过程是解题的前提与关键，应用匀变速直线运动规律、动能定理与牛顿第二定律可以解题．