Question

16．水平光滑直轨道ab与半径为R的竖直半圆形光滑轨道bc相切，一小球以初速度v₀沿直轨道向右运动，如图所示，小球进入圆形轨道后刚好能通过c点，然后小球做平抛运动落在直轨道上的d点，则：
（1）小球到达c点的速度大小？
（2）小球从c点落到d点所需时间？
（3）小球在直轨道上的落点d与b点水平距离为多少？
（4）小球落地时速度大小？

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律，抓住C点弹力为零，靠重力提供向心力，求出小球到达c点的速度．
（2）根据高度，结合位移司机公式求出平抛运动的时间．
（3）根据初速度和时间求出平抛运动的水平位移．
（4）根据速度时间公式求出落地时的竖直分速度，结合平行四边形定则求出落地的速度．

解答 解：（1）小球在c点时，由牛顿第二定律得：
mg=$m\frac{{{v}_{c}}^{2}}{R}$，解得v_c=$\sqrt{gR}$，
（2）小球在c点做平抛运动，由运动学公式得：
2R=$\frac{1}{2}$gt²．解得t=$\sqrt{\frac{4R}{g}}$，
（3）平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，则x=${v}_{c}t=\sqrt{gR}\sqrt{\frac{4R}{g}}$=2R．
（4）小球落地时竖直分速度${v}_{y}=gt=g\sqrt{\frac{4R}{g}}=\sqrt{4gR}$，
根据平行四边形定则知，在d点落地速度$v=\sqrt{{{v}_{c}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt{gR+4gR}$=$\sqrt{5gR}$．
答：（1）小球到达c点的速度大小为$\sqrt{gR}$；
（2）小球从c点落到d点所需时间为$\sqrt{\frac{4R}{g}}$；
（3）小球在直轨道上的落点d与b点水平距离为2R；
（4）小球落地时速度大小为$\sqrt{5gR}$．

点评 本题考查了平抛运动和圆周运动的综合运用，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．