Question

如图所示，已知半径分别为R和r（R＞r）的甲、乙两个光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面上，甲轨道左侧又连接一个光滑的轨道，两圆形轨道之间由一条水平轨道CD相连．一小球自某一高度由静止滑下，先滑上甲轨道，通过动摩擦因数为μ的CD段，又滑上乙轨道，最后离开圆轨道．若小球在两圆轨道的最高点对轨道压力都恰好为零．试求：
（1）分别经过C、D时的速度；
（2）小球释放的高度h；
（3）水平CD段的长度．

Answer 1

（1）小球在光滑圆轨道上滑行时，机械能守恒，设小球滑过C点时的速度为v_c，通过甲环最高点速度为v′，根据小球对最高点压力为零，有
 mg=m 

v′2

R

                ①
取轨道最低点为零势能点，由机械守恒定律
 

1

2

m

v

2c

=mg?2R+

1

2

mv′2   ②
由①、②两式消去v′，可得　
　vc =

5gR

　　　　　　    ③
同理可得小球滑过D点时的速度
　　vD=

5gr

　　　　　　　 ④
所以小球经过C点的速度为

5gR

  经过D点的速度为

5gr

（2）小球从在甲轨道左侧光滑轨道滑至C点时机械能守恒，有
    mgh=

1

2

m

v

2c

　          ⑤
由③、⑤两式联立解得
       h=2.5R
因此小球释放的高度为2.5R
（3）设CD段的长度为l，对小球滑过CD段过程应用动能定理
　-μmgl=

1

2

m

v

2D

-

1

2

m

v

2c

   ⑥
由③、④、⑥三式联立解得
           l=

5(R-r)

2μ

则有水平CD段的长度为

5(R-r)

2μ