Question

7．从地球发射火箭到火星去进行探测，发射后火箭以太阳为焦点做椭圆轨道运动，为了节省能量，火箭离开地球的速度方向与地球的绕日公转速度方向一致，并且选择适当的发射时机，使火箭椭圆轨道的远日点为火星，轨道的近日点为地球．假定地球和火星均绕日做匀速圆周运动，其轨道半径分别为r和R，忽略其他行星对火箭的作用．
（1）根据机械能守恒和开普勒第二定律，试求火箭发射的对地速度大小．（用其他方法得出正确答案同样给分）
（2）火箭到达火星需要多长时间？

Answer 1

分析 （1）设太阳、火箭质量分别为M、m，火箭在近日点和远日点的速度分别为v₁，v₂．由机械能守恒和开普勒定律列式求解对日速度，然后求对地速度；
（2）根据开普勒第三定律求解运动周期，再根据t=$\frac{T}{2}$知时间．

解答 解：（1）设太阳、火箭质量分别为M、m，火箭在近日点和远日点的速度分别为v₁，v₂．
由机械能守恒和开普勒定律
知$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$-$\frac{GMm}{r}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{2}$-$\frac{GMm}{R}$
rv₁=Rv₂，
由此二式得v₁=$\sqrt{\frac{2GMR}{r（r+R）}}$，
这是火箭在离开地球时对日速度，而v_地=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
则火箭相对地球的速度v=v₁-v_地=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$（$\sqrt{\frac{2R}{R+r}}$-1）
（2）而到达火星的时间是火箭运动半个周期T，
T=$\sqrt{{（\frac{r+R}{2r}）}^{3}}$T₀，
故t=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{（\frac{r+R}{2r}）}^{3}}$T₀，
答：（1）火箭发射的对地速度大小是$\sqrt{\frac{GM}{r}}$（$\sqrt{\frac{2R}{R+r}}$-1）．
（2）火箭到达火星需要$\frac{1}{2}$$\sqrt{{（\frac{r+R}{2r}）}^{3}}$T₀ ．

点评 此题考查机械能守恒和开普勒定律，选取近日点和远日点为初末状态，求出的速度为对日速度，注意根据问题选取参考系，会相对速度的求解．