Question

19．如图所示，半径为R的绝缘圆筒中有沿轴线方向的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，匀强磁场的磁感应强度为B，筒形场区的边界由弹性材料构成．一个质量为m、电荷量为q的正离子（不计重力）以某一速度从简壁上的小孔M进入筒中，速度方向与半径成θ=30⁰夹角，并垂直于磁场方向．离子和筒壁的碰撞无能量和电荷量的损失．若选择合适的进入速度，离子可以从M孔射出．问：
（1）离子的速度多大时，离子可以在最短的时间内返回M孔？最短的时间是多少？
（2）如果离子与筒壁发生两次碰撞后从M孔射出，离子的速率是多大？从进入圆筒到返回M孔经历的时间是多少？
（3）如果离子与筒壁发生n次碰撞后从M孔射出，离子的速率又是多大？

Answer 1

分析 （1）离子与筒壁碰撞一次返回M孔时用的时间最短，作出粒=离子运动轨迹，求出粒子轨道半径，应用牛顿第二定律求出粒子的速度，根据离子转过的圆心角与周期公式求出粒子的运动时间．
（2）作出离子与筒壁碰撞两次的运动轨迹，求出离子轨道半径，应用牛顿第二定律求出粒子的速度，根据离子转过的圆心角与周期公式求出粒子的运动时间．
（3）作出离子的运动轨迹，求出离子轨道半径，应用牛顿第二定律求出粒子的速度，根据离子转过的圆心角与周期公式求出粒子的运动时间．

解答 解：（1）离子与筒壁碰撞一次返回M孔运动时间最短，其运动轨迹如图所示：

由几何知识可得：r=2R，
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{r}$，解得：v₁=$\frac{2qBR}{m}$，
离子在磁场中每段圆弧对应的圆心角α=60°，
离子在磁场中的运动时间：t₁=$\frac{2α}{360°}$T=$\frac{2×60°}{360°}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2πm}{3qB}$；
（2）离子与筒壁发生两次碰撞后从M孔射出时运动轨迹如图所示：

由几何知识得：r=R，离子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qv₂B=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{r}$，解得：v₂=$\frac{qBR}{m}$，
离子在磁场中走过的每段圆弧对应的圆心角：α′=120°，
离子的运动时间：t₂=T=$\frac{2πm}{qB}$；
（3）设碰撞n次后返回M孔时，每相邻两次碰撞点对应的场区的圆心角为θ，
必须满足：（n+1）θ=2π，由几何知识得：$\frac{θ}{2}$+β=$\frac{2π}{3}$，$\frac{R}{sinβ}$=$\frac{r}{sin\frac{θ}{2}}$，解得：r=$\frac{2Rtan\frac{π}{n+1}}{\sqrt{3}+tan\frac{π}{n+1}}$，
由牛顿第二定律得：qv_nB=m$\frac{{v}_{n}^{2}}{r}$，解得：v_n=$\frac{2qBR}{m}$$\frac{tan\frac{π}{n+1}}{\sqrt{3}+tan\frac{π}{n+1}}$；
答：（1）离子的速度为$\frac{2qBR}{m}$时，离子可以在最短的时间内返回M孔，最短的时间是$\frac{2πm}{3qB}$；
（2）如果离子与筒壁发生两次碰撞后从M孔射出，离子的速率是$\frac{qBR}{m}$，从进入圆筒到返回M孔经历的时间是$\frac{2πm}{qB}$；
（3）如果离子与筒壁发生n次碰撞后从M孔射出，离子的速率是$\frac{2qBR}{m}$$\frac{tan\frac{π}{n+1}}{\sqrt{3}+tan\frac{π}{n+1}}$．

点评 本题考查了离子在磁场中的运动，分析清楚离子运动过程、作出离子运动轨迹、应用几何知识求出离子轨道半径与圆心角是解题的关键，应用牛顿第二定律可以求出粒子的速度．