Question

9．“嫦娥三号”探月卫星于2013年12月2日凌晨在西昌卫星发射中心发射，将实现“落月”的新阶段．若已知引力常量为G，地球的半径R，月球绕地球做圆周运动的半径为r₁、周期为T₁，“嫦娥三号”探月卫星做圆周运动的环月轨道半径为r₂、周期为T₂，不计其他天体的影响，根据题目条件可以（　　）

• A． 求出“嫦娥三号”探月卫星的质量
• B． 求出月球与地球之间的万有引力
• C． 得出$\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{{T}_{1}}^{2}}$=$\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{T}_{2}}^{2}}$
• D． 求出地球的密度

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，结合探月卫星绕月球的轨道半径和周期求出月球的质量，抓住地球对月球的引力等于月球做圆周运动的向心力，求出月球和地球之间的万有引力．根据万有引力提供向心力，结合月球的轨道半径和周期求出地球的质量，根据地球的体积求出地球的密度．由于探月卫星和月球做圆周运动的中心天体不同，则轨道半径的三次方与周期的二次方的比值不等．

解答 解：A、“嫦娥三号”探月卫星绕月球做圆周运动，属于环绕天体，运用万有引力提供向心力求解时，质量被约去，无法求出探月卫星的质量，故A错误．
B、根据$G\frac{{M}_{月}m}{{{r}_{2}}^{2}}=m{r}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}$得，月球的质量${M}_{月}=\frac{4{π}^{2}{{r}_{2}}^{3}}{G{{T}_{2}}^{2}}$，地球对月球之间的万有引力提供月球做圆周运动的向心力，则F=${M}_{月}{r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$，故B正确．
C、由于月球绕地球做圆周运动和探月卫星绕月球做圆周运动的中心天体不同，不满足开普勒第三定律，即$\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{{T}_{1}}^{2}}$≠$\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{T}_{2}}^{2}}$，故C错误．
D、根据$G\frac{{M}_{地}{M}_{月}}{{{r}_{1}}^{2}}={M}_{月}{r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$得，地球的质量${M}_{地}=\frac{4{π}^{2}{{r}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$，则地球的密度$ρ=\frac{\frac{4{π}^{2}{{r}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3π{{r}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}{R}^{3}}$，故D正确．
故选：BD．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，知道根据该理论只能求出中心天体的质量，不能求解环绕天体的质量．