Question

4．“嫦娥三号”是我国嫦娥工程第二阶段的登月探测器，于2013年12月2日凌晨在西昌卫星中心发射，奔向距地球38万多千米的月球；12月6日，“嫦娥三号”顺利进入距离月球表面一定高度的圆形环月轨道；开始对月球表面形貌进行科学探测．若“嫦娥三号”环月飞行的周期为T，环月轨道距月球表面高度为h，月球半径为R，引力常量为G，求：
（1）月球的质量M；
（2）月球表面的重力加速度g．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力求月球的质量
（2）根据重力等于万有引力求月球表面的重力加速度

解答 解：（1）根据万有引力提供向心力，有G$\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
解得月球的质量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）月球表面物体重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
得$g=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}=\frac{G}{{R}_{\;}^{2}}×\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$=$\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}$
答：（1）月球的质量M为$\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$；
（2）月球表面的重力加速度g为$\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．