Question

19．如图1所示，在xOy坐标系中，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，紧靠极板的右边缘的有界匀强磁场区域由△ABO和举行OBCD构成，其中∠0AB=60°，0D=OA．磁场方向垂直于x0y平面向里，D、A位于y轴上．位于极板左侧的粒子源沿x轴向右接连发射质量为m，、电荷量为+q、速度相同的带电粒子，现在0～3t₀时间内两板间加上如图2所示的电压，已知t=0时刻进入两板间的粒子，在t₀时刻射入磁场时，恰好不会从磁场边界射出磁场区域且圆心在x轴上，上述l、m、q、t₀为已知量，U₀=$\frac{m{l}^{2}}{q{{t}_{0}}^{2}}$，不考虑P、Q两板电压的变化对磁场的影响，也不考虑粒子的重力及粒子间的相互影响，求：
（1）t=0时刻进入两板间的带电粒子射入磁场时的速度；
（2）匀强磁场的磁感应强度的大小及磁场区域的面积；
（3）t=t₀时刻进入两板间的带电粒子在匀强磁场中运动的时间．

Answer 1

分析 （1）根据题意可知粒子在两平行板间做类平抛运动，由平抛运动性质可分别求出粒子水平方向和竖直方向的速度，最后对这两个速度进行合成，由于速度为矢量需注意方向问题；
（2）需画出粒子运动轨迹，根据几何知识求出粒子运动半径，再求出磁感应强度的大小．由几何知识可求出AB边长，最后求出磁场区域面积；
（3）先判断粒子在磁场中运动轨迹，根据圆周运动公式求出粒子的运动时间．

解答 解：（1）t=0时刻进入电场的粒子t0时刻刚好射出电场，
带电粒子沿x轴分速度大小为${v}_{0}=\frac{l}{{t}_{0}}$
y轴负方向偏移距离$y=\frac{1}{2}\frac{{U}_{0}q}{ml}{{t}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}l$
设粒子离开电场沿y轴负方向的分速度为，则有$\frac{1}{2}l=\frac{{v}_{y}}{2}{t}_{0}$
可知${v}_{y}=\frac{l}{{t}_{0}}$
射入磁场的速度${v}_{1}=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\frac{\sqrt{2}l}{{t}_{0}}$，与y轴负方向夹角45°；
（2）设粒子在磁场中做匀变速圆周运动的半径为R₁，
由几何关系得${R}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}l$
$q{v}_{1}B=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{1}}$
得$B=\frac{2m}{q{t}_{0}}$
设AB长为a，则由几何关系得$2{R}_{1}+\frac{l}{2}=a•sin60°$
得$a=\frac{2\sqrt{6}+\sqrt{3}}{3}l$
磁场区域的面积为：$S=\frac{1}{2}{a}^{2}cos30°+\frac{1}{4}{a}^{2}cos30°=（\frac{9\sqrt{3}}{8}+\frac{\sqrt{6}}{2}）$l²．
（3）t₀时刻进入两板间的带电粒子在两板间做匀速直线运动．
在2t₀时刻沿x轴方向进入磁场，进入磁场后做圆周运动，
设半径为R₂．
$q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{{R}_{2}}$
得${R}_{2}=\frac{1}{2}l$
由于$\frac{a}{2}＞{R}_{2}$，所以粒子不会从DC和BC边射出磁场．
粒子在磁场中运动的时间$t=\frac{π{R}_{2}}{{v}_{0}}=\frac{π{t}_{0}}{2}$
答：（1）t=0时刻进入两板间的带电粒子射入磁场时的速度为$\frac{\sqrt{2}l}{2}$，与y轴负方向夹角45°；
（2）匀强磁场的磁感应强度的大小为$\frac{2m}{q{t}_{0}}$及磁场区域的面积为$（\frac{9\sqrt{3}}{8}+\frac{\sqrt{6}}{2}）{l}^{2}$；
（3）t=t₀时刻进入两板间的带电粒子在匀强磁场中运动的时间为$\frac{π{t}_{0}}{2}$．

点评 本题属于带电粒子在组合场中的运动，主要考查考生综合分析问题能力，求解的关键是找到粒子的运动轨迹刚好和AB边相切，找到几何关系求出AB边的长度．第三问要通过计算判断再求解．