Question

7．如图所示，轻杆的两端分别固定两个质量均为m的小球A、B，轻杆可以绕距A端$\frac{1}{3}$杆长处的固定转轴O无摩擦地转动，若轻杆自水平位置由静止开始自由绕O轴转到竖直状态时，求转轴O对杆的作用力．

Answer 1

分析 小球A、B系统中，只有重力势能和动能相互转化，机械能守恒，根据机械能守恒定律列式可求出轻杆转到竖直位置时两球的速度．由牛顿第二定律分别求解出杆对A、B小球的作用力，然后结合牛顿第三定律列式求解出球对杆的作用力，最后根据平衡条件得到转轴O对杆的作用力的大小和方向．

解答 解：设杆转到竖直时A、B的速度分别为v_A和v_B．杆为L．
A、B共轴转动，具有相同的角速度．设细杆转到竖直位置时的角速度为ω．则线速度 v_A=$\frac{1}{3}$Lω，v_B=$\frac{2}{3}$Lω； 
所以v_B=2v_A      ①
根据机械能守恒定律，有重力势能的减小量等于系统动能的增加量，故
  mg•$\frac{2}{3}$L-mg$•\frac{1}{3}$L=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$     ②
联立①②解得 v_A=$\sqrt{\frac{2}{15}gL}$，v_B=2$\sqrt{\frac{2}{15}gL}$
对A球，v_A＜$\sqrt{\frac{1}{3}gL}$，故受重力和支持力，合力提供向心力，有
  mg-F_A=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{\frac{1}{3}L}$ ③
解得 F_A=0.6mg
对B球，受重力和拉力，合力提供向心力，有
  F_B-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{\frac{2}{3}L}$ ④
得 F_B=1.8mg
根据牛顿第三定律，球B对杆向下的弹力为0.6mg，球A对杆向下的弹力为1.8mg，故转轴对杆的作用力为：
F=1.8mg+0.6mg=2.4mg，向上；
答：当轻杆转动到竖直位置时，转轴对杆的作用力的大小为2.4mg，方向向上．

点评 本题关键是A、B小球整体机械能守恒，根据守恒定律列式求解速度，然后根据牛顿第二定律并结合向心力公式列式求解弹力．