Question

7．已知地球的第一宇宙速度为v，在北极质量为m的物体的重力为G．将地球按正圆球处理，忽略大气对观测的影响，在赤道上空运行的一颗人造卫星最远可观测到纬度为θ的地区，那么这颗卫星运行的周期是（　　）

• A． $\frac{2πvm}{Gsinθ\sqrt{sinθ}}$
• B． $\frac{2πvm}{Gsinθ\sqrt{cosθ}}$
• C． $\frac{2πvm}{Gcosθ\sqrt{sinθ}}$
• D． $\frac{2πvm}{Gcosθ\sqrt{cosθ}}$

Answer 1

分析 根据G=mg可得到地球表面的重力加速度，即等于近地卫星的加速度，由a=$\frac{{v}^{2}}{R}$求出地球的半径．对于卫星，根据万有引力等于向心力，可求得其周期．

解答 解：根据G=mg得地球表面的重力加速度为：g=$\frac{G}{m}$
地球的第一宇宙速度等于近地卫星的线速度，则有：a=g=$\frac{{v}^{2}}{R}$
可得地球的半径为：R=$\frac{m{v}^{2}}{G}$
根据题意，该卫星的轨道半径为：r=$\frac{R}{cosθ}$
根据万有引力等于向心力得：G_引$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r
在地球表面有：mg=G_引$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
联立解得卫星的周期为：T=$\frac{2πvm}{Gcosθ\sqrt{cosθ}}$
故选：D

点评 本题关键抓住万有引力提供向心力，以及万有引力等于重力这两个基本思路，同时要抓住几何关系研究卫星的轨道半径与地球半径的关系．