Question

6．如图，两条平行的粗糙金属导轨MM′、NN′固定在倾角为θ=37°的绝缘斜面上，导轨间距d=0.5m，导轨上端连接一个定值电阻．导体棒a、b放在导轨上，与导轨垂直并良好接触．斜面上水平虚线PQ以下区域内，存在着垂直穿过斜面向上的匀强磁场，磁感应强度为B=2T．现对a棒施以平行导轨斜向上的拉力，使它沿导轨匀速向上运动，此时放在导轨下端的b棒处于静止并恰好不受摩擦力．当a棒运动到磁场的上边界PQ处时，撤去拉力，a棒将继续沿导轨向上运动一小段距离后再向下滑动，此时b棒已滑离导轨．当a棒再次滑回到磁场上边界PQ处时，又恰能沿导轨匀速向下运动．已知a棒的电阻r=1Ω，b棒和定值电阻的阻值均为R=2Ω，a棒的质量m_a=0.2kg，b棒的质量m_b=0.1kg，取重力加速度g=10m/s²，导轨电阻不计．求（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）a棒沿导轨向上匀速运动时通过定值电阻R电流的方向；
（2）a棒沿导轨向上匀速运动的速度v₁的大小；
（3）a棒与导轨间的滑动摩擦因数μ及a棒在磁场中沿导轨向上匀速运动时所受到的拉力F．

Answer 1

分析 （1）导体棒a做切割磁感线运动，根据右手定则进行分析即可．
（2）由串并联电路的电流规律可得出两电阻中电流之比，对b棒由受力平衡可求得I_b，求得Ia，对a利用法拉第电磁感应定律和欧姆定律求解运动速度．
当a棒再次滑回到磁场上边界PQ处时，又恰能沿导轨匀速向下运动，根据牛顿第二定律求得进入时的速度，再根据a棒离开磁场后利用动能定理，求得摩擦因数；
（3）有1.2问中求得的电流大小，根据牛顿第二定律求解即可．

解答 解：（1）导体棒a相当电源，根据右手定则，MN中电流方向为N→M；
（2）a棒为电源，b棒和电阻R等值电阻，根据串并联电路特点，得：
$\frac{I_a}{I_b}=\frac{2}{1}$；
设b棒保持静止时电流为I₁，则m_bgsinθ=BI₁d，解得：
${I_1}=\frac{{{m_b}gsin37°}}{Bd}$=I_b=0.6A，
I_a=2I₁=1.2A；
对整个回路利用欧姆定律得：Bdv₁=I_bR+I_a2r，
解得：V₁=2.4m/s；
（3）a棒再次进入磁场后，做匀速运动，有法拉第电磁感应定律得：Bdv₂=I₂（r+R）…①，
对a棒利用牛顿第二定律定律可得：m_agsin37°=BI₂d+μmgcos37°…②
联立①②解得：${v_2}=\frac{6}{5}（3-\sqrt{5}）m/s$，
设撤去外力后，a上升的最大高度为x，利用动能定理得：$-μ{m_a}gcos37°•2x=\frac{1}{2}{m_a}v_2^2-\frac{1}{2}{m_a}v_1^2$，
解得：$μ=\frac{{\sqrt{5}}}{4}$；
a棒在磁场中沿导轨向上匀速运动时，由牛顿第二定律得：F=m_agsin37°+μm_agcos37°+B2I₁d，
代入数据：F=$0.2×10×0.6+\frac{{\sqrt{5}}}{4}×0.2×10×0.8+2×2×0.6×0.5$=$\frac{{12+2\sqrt{5}}}{5}$N；
答：（1）a棒沿导轨向上匀速运动时通过定值电阻R电流的方向为N→M；
（2）a棒沿导轨向上匀速运动的速度v₁的大小为2.4m/s；
（3）a棒与导轨间的滑动摩擦因数μ为$\frac{{\sqrt{5}}}{4}$，a棒在磁场中沿导轨向上匀速运动时所受到的拉力F为$\frac{{12+2\sqrt{5}}}{5}$N．

点评 电磁感应常常与能量及受力结合，在分析此类问题时要注意物体的运动状态，从而灵活地选择物理规律求解．