Question

8．相距L=1.5m的足够长金属导轨竖直放置，质量为m₁=1kg的金属棒ab和质量为m₂=0.27kg的金属棒cd均通过棒两端的套环水平地套在金属导轨上，如图（a）所示，虚线上方磁场方向垂直纸面向里，虚线下方磁场方向竖直向下，两处磁场磁感应强度大小相同．ab棒光滑，cd棒与导轨间动摩擦因数为μ=0.75，两棒总电阻为1.8Ω，导轨电阻不计．ab棒在方向竖直向上，大小按图（b）所示规律变化的外力F作用下，从静止开始，沿导轨匀加速运动，同时cd棒也由静止释放．

（1）求出磁感应强度B的大小和ab棒加速度大小；
（2）已知在2s内外力F做功26J，求这一过程中两金属棒产生的总焦耳热；
（3）判断cd棒将做怎样的运动，求出cd棒达到最大速度所需的时间t₀．

Answer 1

分析 （1）由E=BLv、I=$\frac{E}{R}$、F=BIL、v=at，及牛顿第二定律得到F与时间t的关系式，再根据数学知识研究图象（b）斜率和截距的意义，即可求磁感应强度B的大小和ab棒加速度大小．
（2）由运动学公式求出2s末金属棒ab的速率和位移，根据动能定理求出两金属棒产生的总焦耳热．
（3）分析cd棒的运动情况：cd棒先做加速度逐渐减小的加速运动，当cd棒所受重力与滑动摩擦力相等时，速度达到最大；然后做加速度逐渐增大的减速运动，最后停止运动．
cd棒达到最大速度时重力与摩擦力平衡，而cd棒对导轨的压力等于安培力，可求出电路中的电流，再由E=BLv、欧姆定律求出达到最大速度所需的时间．

解答 解：（1）在运动过程中ab棒中的电流方向向左（b→a），cd棒受到的安培力方向垂直于纸面向里．
经过时间t，金属棒ab的速率v=at
此时，回路中的感应电流为$I=\frac{E}{R}$=$\frac{BLv}{R}$
对金属棒ab，由牛顿第二定律得F-BIL-m₁g=m₁a
由以上各式整理得：F=m₁a+m₁g+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}a}{R}•t$
在图线上取两点：t₁=0，F₁=11N；t₂=2s，F₂=14.6N，
代入上式得a=1m/s² ，B=1.2T；
（2）在2s末金属棒ab的速率v_t=at=2m/s
所发生的位移s=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×4m$=2m，
由动能定律得W_F-m₁gs-W_A=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{t}^{2}-0$
又Q=W_安
联立以上方程，解得Q=W_F-m₁gs-$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{t}^{2}$=（26-1×10×2-$\frac{1}{2}×1×4$）J=4J；
（3）cd棒先做加速度逐渐减小的加速运动，当cd棒所受重力与滑动摩擦力相等时，速度达到最大；后做加速度逐渐增大的减速运动，最后停止运动．
当cd棒速度达到最大时，有m₂g=μF_N
又F_N=F_安′=BI_mL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R}$，
根据速度时间关系可得：v_m=at₀
整理解得t₀=2s．
答：（1）磁感应强度B的大小为1.2T，ab棒加速度大小为1m/s² ；
（2）已知在2s内外力F做功26J，则这一过程中两金属棒产生的总焦耳热为4J；
（3）cd棒先做加速度逐渐减小的加速运动，当cd棒所受重力与滑动摩擦力相等时，速度达到最大；后做加速度逐渐增大的减速运动，最后停止运动．
cd棒达到最大速度所需的时间为2s．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．