题目内容

13．如图所示，光滑半圆形竖直轨道固定在光滑水平地面上，其半径为r，直径MN与水平面垂直，质量为m的平板a置于水平面上，a右端固定一轻质弹簧，左端P点有质量为2m的物体b，b与弹簧自由端相距L，一质量为m的物体，（可视为质点）以一定的水平速度飞来，从M点进入圆轨道并恰好能够沿竖直圆轨道运动到最低点，然后与静止的a发生碰撞，碰后a、c粘连在一起．b将弹簧压缩到最大压缩量x后被弹回并停止板上的P点，已知重力加速度为g，求：
（1）物体c滑至圆轨道最低点N是的速度v；
（2）在物体c从M点开始运动直至b被弹回停在P点的过程中，a、b、c组成的系统机械能的变化量△E；
（3）a、b间动摩擦因数μ．

分析 （1）物体从M点进入圆轨道并恰好能够沿竖直圆轨道运动到最低点，则在M点由重力提供向心力，求出初速度，从M到N的过程中，根据动能定理求出到达N点的速度；
（2）a、c碰撞的过程中，动量守恒，根据动量定律求出ac的共同速度，最终b停在a的最左端，速度与a相等，则abc三个物体速度相等，此过程中，整体不受外力，系统动量守恒，根据动量定律求出abc的共同速度，从而求出整个过程中损失的机械能；
（3）ac碰撞后，b在a上运动的过程中，由于摩擦力做功而使能量损失，根据能量守恒列式即可求解．

解答 解：（1）物体从M点进入圆轨道并恰好能够沿竖直圆轨道运动到最低点，则在M点由重力提供向心力，则有：
mg=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$
解得：${v}_{0}=\sqrt{gr}$
从M到N的过程中，根据动能定理得：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=mg•2r$
解得：$v=\sqrt{5gr}$
（2）a、c碰撞的过程中，动量守恒，则有：
mv=（m+m）v1
解得：${v}_{1}=\frac{v}{2}$=$\frac{\sqrt{5gr}}{2}$，
最终b停在a的最左端，速度与a相等，则abc三个物体速度相等，此过程中，整体不受外力，系统动量守恒，则有：mv=（m+m+2m）v2
解得：${v}_{2}=\frac{v}{4}=\frac{\sqrt{5gr}}{4}$
则整个过程中，损失的机械能为：
$△E=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}×4m×{{v}_{2}}^{2}$=$\frac{15}{8}mgr$
（3）ac碰撞后，b在a上运动的过程中，由于摩擦力做功而使能量损失，根据能量守恒得：
$2×μ2mg（L+x）=\frac{1}{2}（m+m）{{v}_{1}}^{2}-$$\frac{1}{2}（m+m+2m）{{v}_{2}}^{2}$
解得：$μ=\frac{5r}{32（L+x）}$
答：（1）物体c滑至圆轨道最低点N是的速度v为$\sqrt{5gr}$；
（2）在物体c从M点开始运动直至b被弹回停在P点的过程中，a、b、c组成的系统机械能的变化量△E为$\frac{15}{8}mgr$；
（3）a、b间动摩擦因数μ为$\frac{5r}{32（L+x）}$．

点评 本题综合运用了动能定理、动量守恒定律和能量守恒定律，知道物体从M点进入圆轨道并恰好能够沿竖直圆轨道运动到最低点，则在M点由重力提供向心力，明确、动量守恒的条件，能灵活选取研究的过程，选用适当的规律进行求解，难度适中．

练习册系列答案
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