题目内容

2．如图所示，半径为R的半球形陶罐固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台的转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合，转台以一定角速度匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度大小为g，若小物块受到的摩擦力恰好为零，求转台的角速度ω0．
（1）小物块在哪个平面内做圆周运动？
（2）小物块做圆周运动的半径与R有什么关系？
（3）摩擦力的方向与ω的大小之间存在什么关系？

分析 小物块受到的摩擦力恰好为零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，求出角速度的大小；
（1）结合受力分析小物块做匀速圆周运动的平面；
（2）通过几何关系求出小物块做圆周运动的半径；
（3）当ω＞ω0时，重力和支持力的合力不够提供向心力，当角速度最大时，摩擦力方向沿罐壁切线向下达最大值，根据牛顿第二定律及平衡条件求解最大角速度，当ω＜ω0时，重力和支持力的合力大于所需向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向上，当角速度最小时，摩擦力向上达到最大值，根据牛顿第二定律及平衡条件求解最小值．

解答 解：当摩擦力为零，支持力和重力的合力提供向心力，有：$mgtanθ=mRsinθω_0^2$
解得：${ω_0}=\sqrt{\frac{2g}{R}}$
（1）由于小物块做匀速圆周运动，而且小物块受到的摩擦力等于0，可知，小物块受到的重力与支持力大小都不变，所以小物块在水平面内做匀速圆周运动；
（2）由图结合几何关系可知，小物块运动的半径：r=Rsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}R$
（3）当ω＞ω0时，重力和支持力的合力不够提供向心力，当角速度最大时，摩擦力方向沿罐壁切线向下达最大值，设此最大角速度为ω1，
由牛顿第二定律得，${F_f}cos60°+{F_N}cos30°=mRsin60°ω_1^2$
Ffsin60°+mg=FNsin30°
联立以上三式解得：${ω_1}=\sqrt{\frac{3g}{R}}$
当ω＜ω0时，重力和支持力的合力大于所需向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向上，当角速度最小时，摩擦力向上达到最大值，设此最小角速度为ω2
由牛顿第二定律得，${F_N}cos30°-{F_f}cos60°=mRsin60°ω_2^2$
mg=FNsin30°+Ffsin60°
联立三式解得 ${ω_2}=\sqrt{\frac{g}{R}}$，
综述，陶罐旋转的角速度范围为$\sqrt{\frac{g}{R}}≤ω≤\sqrt{\frac{3g}{R}}$
答：小物块受到的摩擦力恰好为零，此时的角速度为$\sqrt{\frac{2g}{R}}$；
（1）小物块在水平面内做匀速圆周运动；
（2）小物块运动的半径等于$\frac{\sqrt{3}}{2}R$；
（3）当ω＞$\sqrt{\frac{2g}{R}}$时，重力和支持力的合力不够提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向下；当ω＞$\sqrt{\frac{3g}{R}}$时，小物块将向上滑动；
当ω＜$\sqrt{\frac{2g}{R}}$时，重力和支持力的合力大于所需向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向上，当ω＜$\sqrt{\frac{g}{R}}$时，小物块将向下滑动．

点评 解决本题的关键搞清物块做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律，抓住竖直方向上合力为零，水平方向上的合力提供向心力进行求解，难度适中．

练习册系列答案
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12．如图1所示，一端带有定滑轮的长木板上固定有如图2甲、乙两个光电门，与之相连的计时器可以显示带有遮光片的小车在其间的运动时间，与跨过定滑轮的轻质细绳相连的轻质测力计能显示挂钩处所受的拉力．不计空气阻力．

（1）在探究“合外力一定时，加速度与质量的关系”实验时，一定要进行的操作是AD．
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B．为了减小误差，砂和砂桶的总质量远小于小车的质量
C．用天平测出砂和砂桶的质量
D．将带滑轮的长木板右端垫高，以平衡摩擦力
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（2）在探究“合外力一定时，加速度与质量的关系”时，实验时，先测出小车质量m，再让小车从靠近光电门甲处由静止开始运动，读出小车在两光电门之间的运动时间t．改变小车质量m，测得多组m、t的值，建立如图3坐标系描点作出图线．下列能直观得出“合外力一定时，加速度与质量成反比”的图线是C．
（3）如图1甲，抬高长木板的左端，使小车从靠近光电门乙处由静止开始运动，读出测力计的示数F和小车在两光电门之间的运动时间t0，改变木板倾角，测得多组数据，得到的F-$\frac{1}{{t}^{2}}$的图线如图1乙所示．实验中测得两光电门的距离L=0.80m，砂和砂桶的总质量m1=0.34kg，重力加速度g取9.8m/s2，则图线的斜率为0.54（结果保留两位有效数字）；若小车与长木板间的摩擦不能忽略，测得的图线斜率将不变（填“变大”、“变小”或“不变”）．
13．如图（a）所示，“”型木块放在光滑水平地面上，木块的水平表面AB粗糙，与水平面夹角θ=37°的表面BC光滑．木块右侧与竖直墙壁之间连接着一个力传感器，当力传感器受压时，其示数为正值；当力传感器被拉时，其示数为负值．一个可视为质点的滑块从C点由静止开始下滑，运动过程中，传感器记录到的力和时间的关系如图（b）所示．设木块通过B点时无能量损失．sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s2．求：

（1）斜面BC的长度L；
（2）滑块的质量m；
（3）水平部分AB至少的长度S．
10．在“探究加速度与力、质量的关系”实验中，某同学使用了如图1所示的装置，计时器打点频率为50Hz，为了便于实验分析，现在每两个点之间擦掉四个点．

（1）该同学得到一条纸带，在纸带上取连续的六个点，如图2所示，自A点起，相邻两点间的距离分别为10.10cm、12.00cm、14.00cm、15.85cm、17.85cm，则打E点时小车的速度为1.69m/s，小车的加速度为1.86 m/s2．（结果保留三位有效数字）
（2）该同学通过数据的处理作出了a-F图象，如图3所示，则
①图中的直线不过原点的原因是平衡摩擦力过大．
②此图中直线发生弯曲的原因是不能满足M远远大于m．
17．如图所示，实线表示电场线，虚线表示只受电场力作用的电荷运动轨迹，a、b为运动轨迹上的两点，可以判定（　　）
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B．电荷为负电荷
C．电荷在a点速度大于在b点速度
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A．由于运动是绝对的，描述物体的运动时，无需选定参考系
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12．-遥控玩具小车在平直公路上运动的位移一时间图象如图所示，则（　　）
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