Question

11．如图，AB平台末端有挡板，一个被压缩弹簧末端连接挡板，一端与一个质量为m=0.5kg的小球接触，小球一开始静止于A点，AB之间的距离S=1m，小球与平台动摩擦因素为u₁=0.2，CD为半径等于r=0.4$\sqrt{2}$竖直放置的光滑细圆管，O为细圆管的圆心，CO与竖直线的夹角为45°；一上表面粗糙木板DE放在光滑水平面上，末端与光滑斜面DE通过长度可忽略的光滑圆弧连接．现释放弹簧，弹簧的弹性势能全部转化为小球的动能，从B点水平抛出，恰好能垂直于OC从C点进入细圆管，小球从进入小球从进入圆管开始受到始终竖直向上的力F=5N的作用，当小球运动到圆管的末端C时作用力F立即消失，能平滑的冲上粗糙长木板DE，已知DE的长度L=1m，斜面高度h=0.2m，DEF质量M=1.5kg．

（1）小球在B点水平抛出的初速度v₀；
（2）弹簧一开始具有的弹性势能；
（3）要使小球在EF上与M达到共同速度，求小球与长木板DE的动摩擦因素的取值范围．

Answer 1

分析 （1）小球从B运动到C为平抛运动，由平抛运动的规律求解小球在B点水平抛出的初速度v₀．
（2）对小球从A运动到B运用动能定理，可求出弹力做功，从而根据功能关系求弹簧一开始具有的弹性势能．
（3）小球在木板上运动过程，水平方向动量守恒，能量也守恒，根据球恰好在E点与M达到共同速与恰好在F点与M达到共同速度两种情况，由动量守恒和能量守恒列式，可求解．

解答 解：（1）小球从B运动到C为平抛运动，有：
  rsin45°=v₀t
在B点，有：tan45$°=\frac{gt}{{v}_{0}}$
解以上两式得：v₀=2m/s
（2）对小球从A运动到B运用动能定理，可得W-μ₁mgs=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
又由功能关系有：E_p=W
代入数据可得弹簧一开始具有的弹性势能为 E_p=2J 
（3）在c 点据平抛运动的速度规律有：v_c=$\frac{v_0}{{sin{{45}^0}}}=2\sqrt{2}m/s$
小球在管中的受力分析为三个力：由于重力与外加的力F平衡，故小球所受的合力仅为管的外轨对它的压力，得小球在管中做匀速圆周运动 v_D=v_C．
小球最终于M达到共同速度，取向右为正方向，由动量守恒定律得
  mv_D=（M+m）v_共
（ I）球恰好在E点与M达到共同速度，由能量守恒得 μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}（M+m）{v}_{共}^{2}$
可得 μ=0.3．
（ II）若小球恰好在F点与M达到共同速度，有 μmgL+mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}（M+m）{v}_{共}^{2}$
可得 μ=0.1
综上所述，小球与长木板DE的动摩擦因素的取值范围为0.1≤μ≤0.3
答：
（1）小球在B点水平抛出的初速度v₀为2m/s．
（2）弹簧一开始具有的弹性势能为2J；
（3）要使小球在EF上与M达到共同速度，小球与长木板DE的动摩擦因素的取值范围为0.1≤μ≤0.3．

点评 本题是力学综合题，关键要正确分析物体的运动过程，把握每个过程的物理规律．对于物体在水平轨道上运动过程，要抓住两大守恒：动量守恒和能量守恒建立方程．