Question

18．滑板运动是一项刺激运动项目，深受青少年喜欢，某次比赛部分赛道如图甲所示，现将赛道简化为如图乙所示的模型：粗糙倾斜轨道AB与光滑圆弧形轨道相切于B点，粗糙水平轨道CD与光滑圆弧形轨道BC、DE相切于C、D点．运动员与滑板一起（可看作质点）从A点静止开始滑下，经轨道BC、CD滑到E点时速度恰好为零，然后返回．己知人和滑板总质量为m=60kg，倾斜轨道AB长L=5m，与水平面的夹角θ=53°，滑板与AB的动摩擦因数为μ₁=0.2，水平轨道CD长S=6m，圆弧形轨道半径均为R=4m，不计空气阻力，（sin53°=0.8，cos53°=0.6，g取10m/s²）．求：

（1）运动员第一次滑到C点时对轨道的压力大小；
（2）滑板与水平轨道CD的动摩擦因数；
（3）运动员从A点开始下滑到第一次回到AB轨道速度为零的过程机械能的损失量．

Answer 1

分析 （1）运动员从A到C的过程由动能定理求解C点的速度，根据向心力公式计算对轨道的压力的大小；
（2）程根据动能定理列式求解滑板与斜面之间的动摩擦系数μ；
（3）运动员从E点到回到AB最高点过程由动能定理求解位移，最后再根据机械能的定义公式求解从A点开始下滑到第1次回到斜面AB速度为零的过程机械能的损失量．

解答 解：（1）运动员从A到C的过程由动能定理得：
mgLsin53°+mgR（1-cos53°）-μ₁mgcos53°L=$\frac{1}{2}$mv_c²
代入数据解得：v_c=10m/s
在C点有：F_N-mg=$\frac{mv_c^2}{R}$
解得：F_N=2100N
有牛顿第三定律可知，运动员第一次滑到C点时对轨道的压力大小为2100N
（2）由（1）问可得：v_c=10m/s
运动员从C到E的过程由动能定理得：-μ₂mgS-mgR=0-$\frac{1}{2}$mv_c²
解得：μ₂=$\frac{1}{6}$
（3）运动员从E点到回到AB最高点过程由动能定理：
mgRcos53°-μ₂mgS-mgxsin53°-μ₁mgxcos53°=0
解得：x=$\frac{35}{23}$m
损失的机械能：△E=mg（L-x）sin53°=$\frac{38400}{23}$J≈1670J
答：（1）运动员第一次滑到C点时对轨道的压力大小为2100N；
（2）滑板与水平轨道CD的动摩擦因数为$\frac{1}{6}$；
（3）运动员从A点开始下滑到第一次回到AB轨道速度为零的过程机械能的损失量为1670J．

点评 本题关键是明确运动员的受力情况、运动情况和能量转化情况，要灵活选择运动过程根据动能定理多次列式求解，对圆周运动，要能找到向心力来源，根据牛顿第二定律列式求解，不难．