Question

18．寻找地外文明一直是科学家们不断努力的目标．为了探测某行星上是否存在生命，科学家们向该行星发射了一颗探测卫星，卫星绕该行星做匀速圆周运动的半径为r，卫星的质量为m，该行星的质量为M，引力常量为G，试求：
（1）该卫星做圆周运动的向心力的大小；
（2）卫星的运行周期；
（3）若已知该行星的半径为R，周期为T．试求该行星的密度ρ．

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力计算向心力大小．
根据万有引力提供向心力列出等式$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，化简可得周期的表达式．
卫星绕行星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力计算出行星的质量，根据密度定义计算行星的密度．

解答 解：（1）根据万有引力定律得
该卫星做圆周运动的向心力的大小$F=G\frac{Mm}{{r}^{2}}$
（2）研究人造卫星绕行星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力列出等式$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得T=$2π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$．
（3）根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
根据密度的定义$ρ=\frac{M}{V}$，得$ρ=\frac{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}{π}^{3}}$=$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$
答：（1）该卫星做匀速圆周运动的向心力的大小是$G\frac{Mm}{{r}^{2}}$．
（2）该卫星的运行周期是$2π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$．
（3）该行星的密度为$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$．

点评 解决该题关键要通过万有引力提供向心力求解，能正确选择向心力的公式．