Question

13．小球从高180m处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰时碰后速度大小为碰前速度大小的$\frac{1}{2}$，则小球从开始下落到停止经过的总时间为18s（g取10m/s²）

Answer 1

分析 小球自h=180m高处自由落下，求出第一次落地时的速度，由题意得到第二、三、四…次碰地后反弹时的速度大小．第一次小球做自由落体运动，以后撞地后，小球做竖直上抛运动，由t=$\frac{2{v}_{0}}{g}$求竖直上抛的时间，找出规律，由数学知识求解总时间．

解答 解：小球第一次落地时速度为
 v₀=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×180}$=60m/s
由题小球第2，3，4…（n+1）次碰地后反弹时的速度大小分别为
 v₁=$\frac{1}{2}$v₀；
 v₂=（$\frac{1}{2}$）²v₀；
 v₃=（$\frac{1}{2}$）³v₀；
 …
v_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿv₀；
小球第1下落时间为
  t₀=$\frac{{v}_{0}}{g}$
小球从第1次与地面相撞到第2次与地面相撞经过的时间为
  t₁=$\frac{2{v}_{1}}{g}$=$\frac{{v}_{0}}{g}$
小球从第2次与地面相撞到第3次与地面相撞经过的时间为
  t₂=$\frac{{2v}_{2}}{g}$=$\frac{{v}_{0}}{2g}$
小球从第3次与地面相撞到第4次与地面相撞经过的时间为
  t₃=$\frac{2{v}_{3}}{g}$=$\frac{{v}_{0}}{{2}^{2}g}$
 …
由数学归纳推理得
小球从第n次与地面相撞到第（n+1）次与地面相撞经过的时间为
t_n=$\frac{{v}_{0}}{{2}^{n-1}g}$
所以小球运动的总时间为
t=t₁+t₂+t₃+…+t_n=t₀=$\frac{{v}_{0}}{g}$+$\frac{{v}_{0}}{g}$+$\frac{{v}_{0}}{2g}$+…+$\frac{{v}_{0}}{{2}^{n-1}g}$=（1+1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）$\frac{{v}_{0}}{g}$=（1+$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$）×$\frac{60}{10}$s=18s
故答案为：18

点评 分析小球每次撞地后反弹的速度，找出时间的规律是解决本题的关键，即应用数学归纳法解决本题，这是高考考查的重要内容之一．