Question

10．如图所示，在竖直平面内有半径为R和2R的两个圆，两圆的最高点相切，切点为A，B和C分别是小圆和大圆上的两个点，其中AB长为$\sqrt{2}$R，AC长为2$\sqrt{2}$R．现沿AB和AC建立两条光滑轨道，自A处由静止释放小球，已知小球沿AB轨道运动到B点所用时间为t₁，沿AC轨道运动到C点所用时间为t₂，则t₁与t₂之比为（　　）

• A． 1：$\sqrt{2}$
• B． 1：2
• C． 1：$\sqrt{3}$
• D． 1：3

Answer 1

分析 设AB和竖直方向的夹角为θ，根据几何关系求出AB与半径的关系，小球沿ab做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律求出加速度，再根据匀变速直线运动位移时间公式求出时间；同理求出沿AC下滑的时间，然后进行求解．

解答 解：设AB与竖直方向的夹角为θ，如图所示，
则：AB=2Rcosθ                          
由牛顿第二定律得物体沿AB下滑的加速度为：a=gcosθ       
解得在AB上运动的时间为t₁，则：AB=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$，
解得：${t}_{1}=2\sqrt{\frac{R}{g}}$；
设AC与竖直方向的夹角为α，则：AC=4Rcosα
由牛顿第二定律得物体沿AC下滑的加速度为：a=gcosα
可知物体在AC上运动的时间为：t₂=2$\sqrt{\frac{2R}{g}}$，
所以$\frac{{t}_{1}}{{t}_{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，A正确，BCD错误．
故选：A．

点评 题主要考查了牛顿第二定律以及运动学基本公式的直接应用，解题时要分析清楚小球的运动情况，并能结合几何关系求解，难度适中．